III
dXi dxu , / du,,,
dxj.
, ,/ '/«!./ fil',,./
— (/«—!) a,,,— — -T-...+ a„,,- — \ (Ij^k dx/,
un ayant éeard aux ideiililés
différentiécs par rapport à Xi .
8. Le système des valeurs des variables Xj , .r, , . . . ,.r„ par lequel on satisfait aux équations, en général incompatibles,
H, =: G , Mj = O , . . . , «,. = O ,
a pour conséquence d'annuler les fonctions u el r (1 < i 7, 1), ainsi que f^i , t^a, ■ • t ^n C^t H). Le déterminant
formé avec »^ comme t^ l'est avec ii, s'annule pareillement, Des équations
o = M,,„ X, -h . . . -f- /f„,„ ,r„, il résulte d'ailleurs (§ IX, 3, et § MI, 5)
JT, ; .r, : .rj : . . . = Va,,, : \/av,'> : v''^^,:; • • • ■ 5
en désignant par c/.i^/, le coefficient de u,^ dans p-. On a, par suite, à la fois
N étant invariable pour tous les indices. Faisant ces substitutions au n" 7, III, on a
, /' (luij, du,, A
l44 SECIJJNDK P\HTIE, ^ XH .
r ost-à-dii"c (1 )
''/,/,■ ^ — ( '" — ' ) ( III — ?-) N Ui.h,
ei par conséquent
9. La fonction homogène du degré m, lorsqu'elle est rationnelle et entière et que ses coefficients sont entiers, s'appelle une forme du degré m [quadratique, cubique, etc.) de n variables indéterminées [binaire, tertiaire, etc.) [**)■ Une forme quadratique (que l'on appelle souvent simplement \\n.e forme) peut se représenter par
une forme cubique, par
> (li.h.l ^i -fi. JC, ( ;,
/, /., / prenant toutes les valeurs, depuis i jusqu'à /2, et les quantités rt,,^, a.^^j ne changeant point lorsqu'on intervertit leurs indices. Par déterminant d'une forme quadraiique, ou entend la valeur, prise négativement, du déterminant formé avec le système des coefficients [****). Ainsi, en posant
(") ^i.^i^, Journal de Crclle, t. XL, p. 3i6. —Voir Jacori, loc. cit.
("*) Gauss, Disquis. ariih., art. i53 el a()G.
(*"*) Foi/ Hesse, Journal de Crellc.i. XXVIII, p. -!\.
("***) Gavîss, loc. cit., art. I,') 4 et aCi/.
\PPI.I(:ATIO^S UKS D1^TKP.MINA^•TS.
— R sera dit le (Ictpriiiiiiaiit de la fotiiK^ // =^ 51 '^''•' •^' •'^z-
Le développement de ce déterminant résulte du § V, 2. Eu désignant par <x,^^ le coefficient de a,^< dans R. la forme quadratique
U = — 2 a,-,t Xi r<
est dite \3i forme adjointe [forma adjuncia) (*) de la forme donnée ii. On a (^^ \ . 2)
On a de plus (S VII, 1)
c'est-à-dire que le déterminant de la forme adjointe est la puissance [n — i)'^'"*- du déterminant de la forme proposée. D'après le § V, 2, on a
A,,< désignant le coefficient de a,,^ dans ^± a:,,, .
') Galss, loc. cit., 207.
l/^6 SECONDE PAUTIE, § XV.
Or on a A,,/ = R"~^ «,,/; (§ VIT, 3) ; par ronséqueut,
Remarque. — Si la forme m est quadratique, ses dérivées partielles seront linéaires ^ par conséquent, le déterminant des dérivées partielles secondes de u (§ XIII^ 3) , de même que le discriminant de u (§ XII, 12), ne différeront que par un facteur numérique du déterminant de cette forme quadratique.
^ XV. — Des substitutions linéaires, et, en particulier, des substitutions orthogonales.
\ . Lorsqu'il s'agit de transformer une fonction donnée des variables x, , Xg , . . . , x^, en une fonction des variables ?'i » 7^2» • • • ijni au moyen des substitutions linéaires
■Vu —- è«,i .r. -+- h„,, j. H- ... -H b„„ j„, le déterminant des coefficients de la substitution
s'appelle le dèterniinant [niodulus) de la substitution linéaire. Ce déterminant doit être différent de zéro, si Xx, Xi, ■ . . , x„ sont supposées indépendantes entre elles (§1X, 2:, § XIII, 3). La substitution linéaiie est dite
( •) Brioschi, Vct. (53).
\PPLICATIO^S DES UÉTERMIN \.>TS. i A-
iuinnodulaire (*), lorsque son déterminant est éiial J,
unité.
% Si les fonctions linéaires./,,/,, . . . , y; j^s variables x, , X,, . . . , x„ sont transformées, par une substitution linéaire, en des fonctions linéaires des variables Ji,j2, •••,J«: le déterminant du système des fonctions transformées (§XIII, i) sera le produit du déterminant du système des fonctions données par le déterminant de la substitution linéaire {**).
Démonstration. — Soient
/„ =r rt„ I .i-, | . , , ^ Q^ ^^ j.
les fonctions linéaires données. Par la subsiituiiun linéaii-e
on obtient les fonctions transformées
fn = C„,, J, -4- . . . -f-. C„ „ J„ .
On trouvera c,./ en multipliant .Xj , x,, . . . , x„ respectivement par a,^^ , a, g, . . . , a,,„, faisant la somme, et prenant dans cette somme le coefficient de r^ ,
(^iJ. = «,.1 ^l.< -+- ■ ■ .-T-«,.» è",/.
( * ) Sylvester, Cambridge and Dublin Mathematical Journal, i. \\\, p. j2. (*») Voir la démonstration alg.-l.riqiie de la régie de nmltiplicatioii (§ VI), par exemple, dans Joadiimsthal, ./oB/na/ deOe//c, i. XL, p. 22.
l48 SECONDE 1»\«TIK, ^ XV.
Par le ^ VI, 1 , on a
3. Étant données les équations algébriques /(.r) = o et (p|x) = o, de degrés ni et ti respectivement, si par la substitution
pr H- qz
on les transforme dans les équations
et que Ton désigne en outre par R = o la résultante des équations données, et par R' = o la résultante des équations transformées, on aura
^'=={pq'-p'q)-"M*).
Démonstration . — En admettant que «j , «2, . . . , «„, désignent les racines de l'équation /"(j:) = o, et |3i , (3, , . . . , j3„ celles de l'équation cp(x) = o, on a identiquement
/{x)= «m(.r— a,) (.r — as). . .{x — a„), et par suite
u"<f(-] = b„{t— p,M) {t— Pjff). . .{t— P„m).
C) jACOr.i, Journal de Cr elle, t. XL, p. a/jS. — Salmon, Higher plane cuivcs,
p. agS.
APPLICATIOJNS DES DÉTEllMUNAISTS . ? 49
La résultante des équations
-■'■/[^)--=o, et «>(^) = o
est, de même que la résultante des équations ^*(,r) = o et çp (a:) = o, d'après le § Xî, 1 ,
'^i — ^k étant évidemment le déterminant des fonctions linéaires
t — a, II, t — p;(M.
Par la substitution linéaire
t = py +qz, a z= p' X -\- p' z,
le déterminant de f — a,Jt et de Z — (3^iz se change (i2) en
(a, — j3i.)(/^7' —p'ci),
et par conséquent
{pn'—p'u)""'J\{^^ — PO = o
est la résultante des équations transformées
Remarque. — Si Téqualion / (j;) = o est transformée,
par la substitution
py -f. (jz
lOO SECONDK PVU'I'IF,, ^ XV.
en la suivante
on trouvera, en procédant de la même manière, que le délei^minant de l'équation transformée se déduit du détermiiianl de Téquation proposée (§ XII, 9), en multipliant par
[jKj' — p'q)'"^'"~'\ parce que TT (a, — a<) est un produit
de m [ru — i) diflérences qui peuvent être considérées comme des déterminants de fonctions linéaires.
i. Une fonction f des variables jCj .ra , . . . ,jt:„ étant transformée, par une substitution linéaire, en uik; fonction des variables j)^i ,jz > • • • > J'» > le déterininantdela fonction transformée est- égal au produit du déterminant de la (onction donnée (§ XIII, 3) par le carré du déterminant de la substitution linéaire {*).
Dénioitslralion. — Supposons la fonction/ transformée par la substitution
ÔM .
i alors
d'f d\f dj:, ^ ^ d'f djc„
dY,dyi- djidj^ dyh ' ' fijif^f-^',, f(rk
djjdx, dYid.r„
(*) IIesse, Journal de Ciclle, l. XXVIII, p. 89 Le cas où la foncliony est quadraliquc a été traité, pour 11 = 2, par Lagraiige (^Méiiioires de l'Acadcwir de Bel lin, 177'^, p. 285), el pour h = ?>, par riauss( Disq. aiiihrn., j.fri^).
APPLlCATIO]\S DES DÉTERMINANTS.
el par suite (§ VI, 1 )
dy^ dy,
dy^ dy„
dyndy, dy„dy„ On a déplus,
dyi dxx dy, dx.
d'f dy, dx dyi dx„
dy„ dx, dy,i dx,.
dyi dxk dx, dx/^ el par suite, comme précédemment,
dV
d'f dy, dxi
dV
dy, dx„
dV
dy„ dx, dy„ dx„
df dx„
dx„ dyi
dx„ dx„ dxii
dx, dx, d'f
dx,, dx,
dx,, dx„
En multipliant entre elles les équations (A) et (B), il vient
dy, dy.
d'f dy, dy„
dy„ dy, dy„ dy„
dx, dx,
d'f dx, dx„
dx„ dx, dx„ dx„
5. Parmi les substitutions linéaires au moyen desquelles on peut transformer une fonction donnée, on doit particulièrement reniar(iner celles dans lesquelles la somme des carrés des nouvelles variables ne diffère pas de la somme
l52 SKCOJNDE l'AiniK, ^ XV.
des carrés des variables primitives. Ces subslitulions oui été considérées par Euîer {^Noi^. Conini. PetropoL, t. XV, p. yS ; t. XX, p. 2iy) ; par Cauchy [Excrc. r/e Math., t. IV, p. i4o) 5 par Jacobi [Journal de d'elle, i. XII, p. 7) ; par Cayley [Journal de Crelle, t. XXXII, p. 119), et d'après ime remai\{ue de ce dernier auteur, elles ont reçu le nom de substitutions orthogonales.
Si la fonction donnée dépend des variables Xi^x.2 , • • • ,x„, cl (ju'on la transforme, par la substilulion linéaire (orthogonale)
•<M = ^"m Ji 4- . • ■ 4-f,,„j,, ,
P-» = c„,, j, -h . . .-4- '•„.„/„, en une l'onction de y, , 73 .•••>/«> de sorte que l'on ait
les coelHcienls jouiront des pi opriétés principales suivantes.
l. Pour toutes les valeurs de < et de A, depuis 1 jusqu à //, on a (Euler)
••1,, f|j. -t-r,., Ci,/.-!- ... -h r,,,/ c.i, = o, a cause de ridenlilé
(';....ri + -
11. Pour iranslorjner la lonclion transformée dans la fonction pro[)Osée, il suHit (Cauchy) de substiluei les vah;iMS
.>■/ = ''t., •»■( H- <••• , x, -h . . . -f- Cn.iJ:,, .
M'PLiCATlOAS DKS DETKUMIJN AiSTS.
En cilei
le coeflicient de j', ayant pour valeui- ruuité, tandis que les coefficients des autres quantités s'annulent (I).
m. Le carré du déterminant d'une substitution orthogonale est égal à Tunité (Jacobi). Car par la règle de la multiplication (§ VI, 3) on a
en faisant
(li,k = t'i,, f|.<- -+- c,,,- c,j. H- . . . -f- c„,, <-■„,/..
Or on a <^,,< = o, <'/,^, = i (I) •, par suite le détenninatit cherché se réduit à son terme initial «'1,1 ch^^. . .(/,„n = i
(S il, 7)
IV^ En désignant par £ le déterminant d une substitution orthogonale, etpary,^^ lecoefficientdec,,;rdans£,ona (Jacobi)
Pour prouver cette identité, multiplions les identités
fi,< fl,/i -+-■•• + C»,/l f,,,^. = I
respectivement pary,^, , y,^., , • . . , y,,„ . On obtient, en iaibani la somme,
l54 SECOINDE PAUTIE, ^ XV.
Le coefficient de c,^/^ est e, et ceux des autres quantités
^'i,/.> • ■ • >c„j, s'annulent (§ III, 1 ).
V. Les coefficients d'une substitution orthogonale satisfont au nouveau système suivant d'identités (Euler) :
On a en effet (IV)
£ ('V,l Q.i H- . . • C,.n Ck.u ) = 7/,l
Or cette somme a pour valeur £ ou zéro, suivant que / et k sont égaux ou inégaux (§ III, 4 ) ,
VI. Entre les déterminants partiels que l'on peut former avec le système des coefficients d'une substitution orthogonale, il existe la relation suivante (Jacobi) :
-m+i, wi+i • ■ • '«!-+- 1,'(
CmA ■ . . C
On a en e<ïet (§ VU, "È]
in+\jin+\ ■ • • '■in+\j
• *'ii II
et, d'après (IV), en ayant égard au ^ III, 2,
La comparaison de ces (lcn\ identités conduit à celle qu il (allait démontrer.
APPUCATlOiNS DES DÉTERMIINAINTS. l55
Il y a encore quelques relations moins immédiates entre les coefficients d'une substitution orthogonale, ([ui ont été indiquées par Euler dans le premier des Mémoires cités, et par Jacobi [Journal de Crelle, t. XXX, p. l^Çi).
(>. Puisque entre les n} coefficients d'une substitution
orthogonale il existe n -f- "-^ ^'équations (o, ï), ces
coefficients peuvent être ( onsidérés comme des fouclions de n- — n =: -^^ '- quantités indeter-
minées
bi.i, . . . , b.
Eli'ectivement, Euler a non -seulement indiqué le moyen
par lequel on peut, par — ^ transformations binaires,
mettre les coefficients dune substitution orthogonale sous
forme de tonctions de quantités indéterminées;
mais encore, pour les cas de n =^ i et de n = 4i il a exprimé ces coefficients rationnellement au moven des quantités indéterminées. En se servant des déterminants, Cayley (/. c.) est parvenu à représenter les coefficiciils d une substitution orthogonale servant à la transtormalion d'une fonction de // variables, par des fonctions rationnelles de
indéterminées.
Si l'on désigne, en ellet, comme plus haut, ces indéler minées, par ft|,->, . . . , /'„i ; si de plus, sous les conditions,
l56 SKCOJNDK l'AUriE, ^ \V,
OU forme le dëleiniuiaiil
6n,i . - ba,n
«Ji que l'on désigne par j3,^< le coefficient de b.^i^ dans B, on aura
Ci,k
2 W [ii^h
•> Ci,i =
2wp,-,, — B
[jour les formules générales d'une substituiion orthogonale dont le déterminant a pour valeur l'unité. Les coefficients d'une substitution orthogonale de déterminant — i s'obtiennent en changeant les signes d'un nombre impair de lignes parallèles, dans le système des coefficients qu'on vient de trouver.
Démonstration . — On peut faire dépendre les quantités
:t'i , Xa , . . . , Xn des quantités /i , /a , . • . , j^„ , en posant à la fois
./-,=: è/,,Z| -H ... -h bi,n Zn, Ji— é,,,3, -I-.. . -4- 6„,,Z„.
Par la résolution des systèmes linéaires
.r, z= ^,,1 3, -I- ... 4- /,, ,^ z„, Ji = A,,, z, + . . . -I- />„., 3„,
ou trouve (§ IX, l )
Bz, = [i,,, •>:, -h fiï,, JTj 4- . . . -i- p„,, .r„, Bz.= B,,,r, -4-fi,.,r... ^. . . -h [î.-.„j„.
Or ou verlu des hypothèses /?,^^ H- 6/,, = o, /;,^, = co, et des relations supposées entic .r,, y, et les quantités .3, ,
et par suite ou a à la fois Bji = 2W 3,,, x,-h . . . -h (2W P;,i — B) x,- 4- . . .
Bj:,= 2wp;,, J, -h . + (2wp,-., B))-, -f- . .
OU, sous une forme plus abrégée,
y i ^^ f 1,1 "^1 ~T" • • • 1" C/j,i ^n ? •^- = C>,^ Jl H- • ■ • + «'/.nj/i ■
De l'identité
j,r=c,.,(f,.,j,+...4-r,,«J.) 4-...4-c..,(^n..J.-r résultent les identités
