Les substitutions orthogonales binaires ei ternaires
l6u SIXOKDE PAUTIE, ^ XV.
équivalcui, en géométrie, à la liaiistormalion des coordonnées rectangulaires. Pour passer du système rectangulaire a:, y, au système rectangulaire .r', jj^', en supposant que .r, y, x',jr' soient des directions situées dans un même plan, il faut faire la subslilulion linéaire qui a pour coefficients
cos.rx', COSJîx',
cosjr.r', cosjj'.
Si l'on donne le même signe aux angles décrits par des rotations de même sens, de sorte que
on a
xy' = x.r' -f- x' y\ yx' = yx -»- xx', y y' =yx -f- xx' -\- x' y' ,
Si maintenant les angles xj et x'y' sont tous les deux = 90*^, on a
cos.rj' =:t — sin xx', cosyx' =. sin xx', cos yy' = cos xx' .
Si au contraire xj = 90° et x'j' = — 90°, alors
cos xy' rr: sin xx' , cos jx' = sin xx', cos y y' = — cos xx' .
On a donc, comme on le sait d'ailleurs, pour passer à uji système de même sens, à faire la substitution linéaire
cos xx' , — sin xx' , sinj:^', coso?^',
de déterminant i. Pour passer à un sysième de sens contraire, on devra faire la substitution
cosx.r', sin .rj?',
sin xx', — cosxr',
de dcterniiî>ant — i .
Ce qui précède s'accorde avec un théorème goniomé-
APPLICATIU.NS DKS DÉTE«Ml> A.NTS.
trique connu {voir ci-après, § XVII, 1), d'après lequel, })pur des directions quelconques x,y, x',f' dans un même plan, on a
ces xz cos -rj cos y.r' cosjr'
= sina,y sin.r y ,
d'où il suit que ce déterminant est positif ou négalit", suivant que sin xy et sin x'y' sont ou ne sont pas de même signe.
Réciproquement, des équations
ces' j:.r' 4- ces- xy' = i , cos.rj?' ces yx' -+- cos x}' cos/r' = o , cos''yx' -t- ces- r >' = i ,
on conclut que sin^ xy et sin-x'}' ont pour valeur lunité. On a, en effet, par la règle de la multiplication
cos.rx coso:^"' sin' X Y sin- x'y' =
cos jrx' COS y y'
cos- a-j:' H- cos^rj' , cos jx' cos.rj:' H- cos x>' cos jr'
cos j::r' cos r-r' + cos xy'cosj}', cos'jx' +cos=jy
Pour rendre les substitutions rationnelles, il suffit de prendre les formules cosx.r' = cos* — f i — tang* — j^etc, et d'exprimer les coefficients de la substitution au moyen de tang — • T^oir 6, exemple i.
8. Pour passer du s^-stème de coordonnées rectangulaires x, r, z au système de coordonnées rectangulaires ,r', r', z\ il faut employer, comme on sait, la substitution
linéaire
cos.r;r', cos xy y cosxz , cosvj:', cosjj', cos xc', coszx\ coszy', cosz;',
l64 SECOJSDE PARTIE, § XV.
dont les coefficients doivent satisfaire aux équations (5, 1), et sont par conséquent Ibnctions de trois quantités indéterminées. Soit O l'origine commune des deux systèmes de coordonnées, et soient X, Y, Z, X', Y', Z' les points où les directions des coordonnées positives rencontrent la sphère de centre O et de rayon égal à l'unité. Les systèmes de coordonnées seront de même sens ou de sens contraire, suivant que les triangles sphériques XYZ etX'Y'Z', ou les tétraèdres OXYZ, OX' Y' Z' seront de même sens ou de sens opposé.
I. Deux figures sphériques étant semblables, égales et de même sens, il existe un point S, qui est à lui-même son propre correspondant, et qui est situé de telle sorte que l'on a
SX = SX', SY = SY', SZ = SZ',
angle XSY = X' SY', YSZ — Y' SZ', XSZ = X'SZ', XSX' = YSY' =: ZSZ' (*).
D'après une proposition élémentaire de trigonométrie sphérique, on a par conséquent, en désignant OS par s et l'angle XSX' par cp,
CCS xx' = ces- SX -h sin' ^.r cos ^ = cos' sx [i — ces cp ) + cos (f , ces xj' =^ cos^ sf -h sin' sy cos ^ = cos^ sy [i — cos tp) -h cos <f , cos zs' = cos'^z -t- sin'ic cos cp =r cos'^z (ï — COSçp) + COS^.
En désignant, de plus, par 9 les angles égaux XSY, X'SY', on a, d'après la même proposition de trigonométrie,
cos.rj'=cos^.r cos.vj' -h sïnsx sin^j' cos (^ -f- 6) = cos^o: COS.VJ + smsx sinsj cosç cosô — sin.îA'sin^/sinip sin 9.
(*) Voir le Mémoire de l'auteur Sur l'égalité cl la similitude, etc. Dresde, i852, §§ 3i et 52. Aux sources qui y sont citées il faut ajouter : EuLER, De centra similitudinis{No('a Acla Pctrop., t. IX, p. ifi/i).
i^PPLlCATlOPJS DKS DF.TERM1> AMS . I 65
Mais, à cause de
cos xy = cos^j: cos sy H- sin sx sin sy cosô = o , sin SX sin sy sin G = 60XYS = sin xy cos sz=. cos fz ,
il vient
cos xy' = cos SX cos a j ( i — cos y ; — cos^z sin 9 .
De la valeur de cos xy' on tire celle de cosj^a:', puisque l'augle YSX' = YSX -+- XSX' = — 9 -h 0, d'où l'on voit qu'il suffit de changer çp en — 9, pour avoir
COSJx' =r COSi.r COSJiX (l — COS y) + COS i'Z sin û/.
On a de même
cosrz' = cosij cosiz (1 — cos<p) — cos^o: sino, COS zj' = cos sy cos ^3(1 — cos o ) -f- cos sx sin y , cos zx' =i COS 5S cosja:{i — cosçp) — co%sy sinip, cosarz' = cos .y: cos j-jt (1 — coscp) -H cosi'jsin 9 (*),
les trois premières des quantités auxiliaires sx^ sy, 50, eu étant liées entre elles par l'équation
cos' SX -f- cos' sy -+■ cos^ ^2=1.
Pour rendre rationnels ces coefficients de la substitution,
introduisons -o: il vient
cos XX = cos' - (B -1- 2 cos- s.r sjn- - © — sin- — » , 2 ^ 2 ' 2 '
cos XY = 2cos5,c cos^r sm- — 'j> — 2cos5zsin — o/cos — o.
;"*) Ce sont là les formules trouvées par Euler, Noi'. Comm. Pctrop., t. X\ . ]>. .217, formules que Jacobi a rappelées (Journal de Ci elle, t. Il, p . 18S 1. en invitant les géomètres à en simpliller la démonstration.
l66 SECOWDE PARTIE, § XV.
et de même pour les autres. En posant
("osAvrtang — (p=: / , cosi)- tang — (p=:fy., cos^; tang — (p = v.
d'où résulte
tang' - tp = V -f- p^ + v% î — = I +).- + fx^H-v%
COS'^ — ffl
on obtient le système ci-dessus de coefficients rationnels d'une substitution orthogonale ternaire (6).
II. Deux figures sphériques étant semblables, égales ei de sens opposé, il existe un grand cercle, son propre correspondant à lui-même, dont le pôle S a pour correspondant le point diamétralement opposé, et tel qu'on a
SX-^SX'= i8o°, SY-4-SY'= i8o% SZ -h SZ' = 1 8o- , angle XSy=X'SY', YSZ = Y'SZ', XSZ = X'SZ',
XSX' = YSY' = ZSZ'.
En employant toujours les notations précédentes, on a
(•os xx' = — cos' SX -+- sin' sx ces '^ = — ces' s.r ( i -)-cos cp ) -t- cos «p , vosxy' = — cosix cosij 4- sin sx sIdaj cos («; H- 9) = — cos SX cos s Y ( I -l- cos (f ) — cos sz sin «p , etc.
Ces formules ne diffèrent que par le signe de celles qu'on a trouvées précédemment, en y changeant cp en i8o° — (f. I. angle iBo" — -ip est celui que le système x',y',z' doit décrire autour de l'axe v, pour <[ue X' Y'Z' cojncidc avec la figure symétrique de XYZ.
III. D'après le théorème de \. Staudt (voir ci-après. ^ XVII, (>) , on a, pour des an^lfs cl des positions quclcon-
\PPLICATIO>S DtS DÉTEUill.NA.MS.
4ues des axes coordonnés,
cosxj:' cosjtj' cos xz' cosj'x' cos^j' cos j> z' I cos z.r' cos 3x' cos 3z'
= 360XYZ.OX'Y'Z'.
Par suite, le délermiuant est positif ou négatif, suivant que ces tétraèdres, ou les angles solides formés par les axes, sont disposés dans le même sens ou en sens contraire. Dans un système rectangulaire, le tétraèdre correspondant a pour
mesure TT de l'unité cubique; donc le déterminant de la o
substitution orthogonale sera -\- i ou — i, suivant que le nouveau système sera disposé dans le même sens que 1 ancien, ou en sens contraire (*).
ÏV. Réciproquement, des équations
cos'j^x' -h cos' j:i ' -»- cos-xz' =^ 1 .
cos^jx' -4- cos-/> ' -+- cos'jz' = l ,
cos' zx' -f- cos' :>■' -4- cos- ce' = i , cosa7a:'cosj>.r' + cosxjr'cosrf' -4- cos.rc' cosyz' = o, cosj:x'cos:t' -+- coixjr' cos zy' + cos^rc'cosz:;' = o, cosror'cossj;' -f- cos/j'ccssy' + cosjc'coscz' = o,
on conclut que les systèmes j:, y, z et x', j', z' sont rco tangulaires (**). On a, en effet.
360XYZ.OX'Y'Z') =
en faisant, d'après la règle de la multiplication des déter-
On
fl,;
an
rt,.
(*) C'est Jacobi (Journal de Cielle, t. XV, p. 3oç)) qui a fait remarquer 10 raractère distinctif des délcrminanls des substitutions. Voir Moebiis, Sujlique, § i'i7; Mac.ms, Gcomctric analniqur de t'espace. % \'?i
(") DeDERIND, /oiH/Irt/ (ft- Crcll(\ t. I,, p. 272.
l68 SECOJNDK PAIVTIE, § XV.
niinanls (§ VI, 1),
<^/,, = cos.x-x' cosxa:' -I- cos.tj' cosxy' 4- cosxz' cosxz' = i , rt,2 := cos.rx' cos/.r' H- cos.rj'cosjj' H- cosa,"'cos/z' = o,
de, de sorte qu'on a
«ij
On a maintenant
60XYZ = sin.rj- sina:zsin yxyyvzj, etc.
Mais le produit des sinus n'est égal à l'unité que lorsque les angles sont droits.
9. En désignant par c, i,. . . ,c„ ^ les coefficients d'une substitution orthogonale ayant pour déterminant e, c'està-dire H- I ou — I , et posant
fN =
Ci.l
Ci,n
l'équation f [^■) =o est réciproque, et, à l'exception de la racine — £, qui y satisfait dans le cas de n impair, elle n'a aucune racine réelle (*).
DénionsLration. — Le développement du déterminant / (3) suivant les puissances ascendantes de z (§IV, 4) permet, au moyen de la propriété, démontrée dans l'art. 5, VI, des déterminants partiels appartenant à /( o ), de reconnaître immédiatement que les coellicients de z*^, z% s®, . . .
') HriiimHI, Joui nul fir l.ioiuillr, I. \IX, p. afi',^ .
APPLICATIOINS DES DÉTERMIJN AJSTS. 1 69
ne ditîêrent que par le facteui' s des coefficients de 2", z"~\ z"~^, . . . , et que par conséquent
ce que l'on peut constater en faisant le produit des déterminants s et/{z). D'après cela, on a
etainsiy( — e) devra s'annuler identiquement lorsque n sera un nombre impair. Pour arriver à une conclusion sur la réalité des autres racines de l'équation f{z) =0, formons (§ YI, 4) le produit des déterminants
r/,^, — z- zd^. . . . zd,n
zd„^, zd„^. . . . d„„ — z-
eu posant
<//,, — s' = C;.,C,^, H- . . .-h (c,,,-h Z)(C,„ — z) H- . . . + '•,,nt',,„,
et par suite
et
zdi^k = c,,, C;;.,, H- . . . + {ci,i H- s)c/;-,, + . . . H- r,,^^.* — z)
et par suite
desorteque</,,A -f- c?/,, = o. On a par conséquent §( V11I,7)
l'JO SKCOiNDK l'AIlTIl-,, ^\V.
les coelticifuls des puissances de z éumlposilils, d'après
l'arlitle cité. Donc, pour louie valeur réelle de z, la quanlilé
suivant que n est pair ou impair, est positive, et par eonsé- (|uenlj (s) est différent de zéro.
10 Etant donnée uiu^ fonction homogène et entière, du
second degié, de n variables jt'i, Xa, . . . , a:„,
on peut, au moyen de la lésolution d une équation du degré//, la transformer, par une sulDstilulion orthogonale déterminée, en une fonction entière et homogène de n variables, qui ne contiendra plus que les carrés des nouvelles variables (*).
Démonstration. — Far les-^ conditions exprimant
que les produits deux à deux des variables disparaissent de la lonction transformée, la substitution orthogonale qui sert à la transformation se trouve déterminée (6). Or, dans la substitution orthogonale
■^'=^ «^''...Ki -t-. • .-4- 0,«/«,
on a (5, II )
C) Caucuy, Exercices de MnlhcDialtijues, t. IV', p. i/|0. — Jacobi, Journal de i'rclle, t. XII, i>. 1 . — I^E Besgue, Journal de Liouville, t. Il, p. 1557. C'est sur <(!tlo pro))Osiliini que, io|i(isi' auulvlirinenionl l'oxislcncc dcsaxi'S principaux rcclangiilaircs (les liniics cl îles hinraccs du 2' dogrr, dont le coiilre est a '1110 dislaiii'C' litiic .
APPLICATIONS DES DF.TEKMKN AMS. I71
Si l'on doit avoir, par celte substiliilion,
il faudra que l'on ait. pour toutes les valeurs de a'i, .1 j , . . . , x„ ,
V a,,i,-^,xk=z g, (c, , x, -j-. . .-\-c„,^x„Y-\-. . . i,k
et par suite
En multipliant les équations
û,n gi C/^, C,,,, -f- . . . -|— §„ Ci.n^n.m
respectivement par c,,^ c, ,;, . . . , c,.,^, et faisant la somme, on trouve (o, I)
Du système linéaire
Cn.kO^.n =0,
-<-...+ <^»,A ( «„.« gk)=^0.
il résulte enfin (§ IX, 3, et § VII, 5)
«1.1 gk «1,7
■ • = V^?i (i^rô : vV{h*^ • v/?'(^'x)
1^2 SECOJNDK VAKTIK, ^ XV.
^i{z) désigiiajit le coefficient de a,, — z dans le déter-
minant
Maintenant, à cause de
on a, pour déterminer les coefficients de la substitution orthogonale cherchée,
Ci.k
Cl.k
= s/f^{§k) : slf^igk) : ... : s/'fnigk) : sl<fi{gk) -i- ■ ■ • + fn{gk).
Les quantités g^^ g^,. . . , gn sont les racines de l'équation du degré n,f{z) = o. Aucune d'elles ne peut être nulle, cary^(o) est le déterminant (de Hesse) de la fonction quadratique V, et ridentitéy(o) = o indiquerait que V serait en réalité une fonction de moins de n variables (§XII1,3).
L'équation f{z) = o ne peut avoir de racines imaginaires ou complexes. En effet, en vertu des proportions précédentes et de l'équation
on a, pour chaque couple de racines g,, g^ ,
s/9>{gi)s/<?^igk)-h. ■ • + s/fu{gi)s/9nigk) — o. Si maintenant on avait
-, =p + q v'~ et sJ^Âji) = P. -h Qr V^^ ,
\\ rxisU'uru uur auUr lacinr gi = p — {j \/ — j. cl par
APPI.ICATIUNS DES DÉTEllMIN ANTS. 1^3
suite v/(|),. {gi) = P, — Q^ v' — ï • I^« là résulterait
et la somme de pareils produits ne pourrait être nulle, à moins que ^r{gi) ne s'annulât pour /' = i , 2,. . ., n. Or (^r (z) est une fonction du degré n — i et de même nature que y (2)^ elle ne peut donc s'annuler pour z = jO^, que lorsque des fonctions de même nature et de dogrr inféricuis'annulent, ce cjui est impossible pour des fonctions du premier degré.
Dans le cas où deux ou plusieurs des racines de l'cquationy^(z) = o deviennent égales entre elles, la transformation cherchée de la fonction V n'est pas complètement déterminée, parce que deux ou plusieurs lignes parallèles
des coefficients de la substitution prennent la valeur -•
En effet, si g/, est une racine double de léquation ^ ( ^ ) = o,
ou a, en vertu de l'équation remarquée ci-dessus,
?i {§!<) -h r^igk) + ...-!- <p„(^0 = 0,
ce qui s'accorde avec la condition qu'il faut développer, d'après le § III, 10,/' (^i) = o (§ XII, M). Les quantités cp, [g),). <p2 (g"/.)'* • • ^'^"' ^^ n^ême signe, puisque le produit de deux quelconques d'entre elles est égal à un carré positif {§ VII, 5). Leur somme ne peut donc s'annuler que lorsque chacune d'elles est nulle. Donc, dans les valeuis fractionnaires trouvées pour c^^^ , c^^i, . . . , c„^<, les numérateurs s'annulent, ainsi que les dénominateurs.
Remarque. — Par la transformation précédente de la fonction V, on reconnaît les maxima et les minima que présente la fonction donnée lorsque les variables sont assujetties à la condition
x] -^ xl 4-- . . H-.f'.= 1.
1^4 SRCOWDE VARTIR, ^ XV.
Comme on a alors on même temps il s'ensuit que
— Sk+[8^ — Sk) j] -^. ..-^{gn — 8k)y\-
De là résulte évidemment que V ne peut pas être plus grand (ou plus petit) que g,,^ si g^ désigne la plus grande (ou la plus petite) des quantités g^^ g^^. . . , g^-^Si fonction V obtient cette valeur, lorsqu'on fait y^ = o, j)^2 = o, . . . , 7^;;= I , . . . , I „ = o , c'est-à-dire lorsqu'on fait
En traitant directement ce problème, on a les conditions
dx^ d.r^ dx„
à satisfaire, et l'on a
dW
et par conséquent
ai,, .r, -I- c/,,2 .r.-.^ 4- • ■ • -I- «/,« j:^,, = p.^/.
Celte équation n est autre chose que l'équation trouvée cidessus ,
fl,M <^i.k + fi.i C-i.h H- ... -F (lin C,,./, = gk C,,ii,
en remplaçant 1 inconnue [x par g^/ , et les inconnues .Xj, Xs,. . -, ^» par Ci,,(, C2,j(,. • ., c„,/,.
I 1. L'équation f{z) = o, qui se dislingue parla réalité de ses racines (lo), se présente dans plusieurs recherches,
\PPLICATIONS DES DÉTEKMIW AxNTS. iy[)
par exemple, dans la déterminaliou des axes principaux des lignes et des surfaces du second degré, dans la détermination des axes principaux d'inertie d'un corps donné, dans le calcul des inégalités séculaires des planètes (Laplace, Mémoire de l'académie de Paris ^ 177^, t, II, pp. 2g3 et 362). Lagrange a démontré la réalité des racines d'une telle équation pour le cas du troisième degré [Mémoires de l'académie de Berlin^ ^77^ 1 P- 108). Cauchy (/. c.) a démontré cette propriété pour le cas d'une pareille équation de degré quelconque. La réalité des racines pour cette classe d'équations a été démontrée d'une manière nouvelle et directe par Kummer [Journal de Crelle^ t. XX^ I, p. 268 ; i;oz'r Jacobi, Journal de Crelle, t. XXX, p. 4^)5 dans le cas du troisième degré, et par Borchardt [Journal de Liouv^ille^ t. XII, p. 5o), dans le cas d'un degré quelconque. Sylvester [Philos. Mag.., i852, t. Il, p. i38) a donné de la même propriété la démonstration suivante, qui n est pas moins directe (*).
Soient
«.,< =^ Ok,
et
«1.1 — ' Oi,
on aura
Cln.l • ■ • ^11. n "
(*) A l'histoire de ce problème se rapportent encore les Notes de Sylvester {Philosophical Magazine, iSj',^, t. H, p. 21/)) et d'Hermite [Comptes rendus. i8'>5, t. XLl, p. i§i)
Ij6 SECONDE VAHTIK, §XV1.
eu posant, d'api es la règle de la multiplication des déterminants (§ \I, A),
et par conséquent
^/./ = «,,1 «,,,+...+ «,-,„ rt,,„,
Le déterminant/(z)/'( — z), développé d'après le § IV, 4, donne
chacune des quantités R,„, telles que
étant une somme de carrés (§VI, 2). Par conséquent f (7 V — ï) ./( — V V — 0 <"st positif pour toute valeur de (j-^ donc ^ \/ — I n'est pas une racine de réquation/'(2) = o. En posant de plus z = p-{-z', et changeant J'(z) en F (2'), alors, pour la même raison, g \/ — i ne peut être racine de l'équation F (2') = o, et par suite p -i- q s/ — i ne peut être racine de l'équation f{z) =0. L'équation f[z) = o n'a donc que des racines réelles.
§ XVL — Surface du triangle et. volume du tétraèdre.
I . Soient O l'origine d'axes coordonnés quelconques ;x, y et Xi^jy les coordonnées, parallèles aux axes, des deux points A et 13-, désignons par /, r^ les longueurs OA, OB, et
APPLICATIONS DKS DÉTERMINANTS. \nn
prenons, de plus, la surface du iriangle OAB positivement ou négativement, suivant que la rotation déterminée par l'ordre des points O, A, B, est ou n'est pas de même sens que la rotation qui sert à décrire les angles positifs. On a alors
2 OAB =r rr, sin rr, =
sin .vy (*).
Démonstration. — Il résulte immédiatement, de l'hypothèse faite sur le signe de l'aire du triangle, que ri\ sin rr, s'accorde aussi pour le signe avec 2 OAB. Mais on a (§111,2)
/■' rj sin- rj\ = r- r]
I , cos /"/•,
ces rr, , I
rr , 7T| cos r/'i
/r, cos rr, , /•, /•,
Or on trovive, au moyen de la projection orthogonale.
r co%xi= X -h j cosxy,
r cos y/- = .r cosj") 4- r ,
r =; .r cos.rr -\- r cos yr,
r, cosrr, r= x, cosj: r -\- y ^cos yr.
La règle de la midtiplication des déterminants (§ VI, 1 ) donne
X {x-\-ycos.Ty)-^y [x cos xy -\- y ) , x (jr, -f-j-|COSJ7j) -f-j (x, cos:r)--|-7-, X\ {x->ryco%xy) + j, (jrcosa'j-f- j), x^ [x^~^ y^cosxy) -f-j, (j:,cos.rj+j,
X -hjcosxy, xcosxy-j-y ■''^ I -h .y I ^os xy , .r,cosx} -{-y,
t , cos xy
cos xy, i
( *; Cette formule est contenue dans un théorème de Varignon {Méni. Je Paris, 1719, p. 66). Elle a été donnée sous sa forme actuelle par Monge, Journal de l'École Polytechnique, XV cahier, p. 68. C'est sur elle qu'est fondée la formule pour la surface d'un polyf;one, que Gauss a insérée dans les Additions à la traduction de la Géométrie de position de Carnot par Schumacher. On en trouve une démonstration {;éoniétrique riffoureusc dans la Statique de Mœbiiis, § 3;'j.
1^8 SECOJNDE P.MîTIK. ^ \Vl.
De là résulte, £ étant égal à H- i ou à — i ,
rr\ sin /r, r= s
sin xy.
Lorsque j et x^ sont nuls, r se change en .r, /, enji. Par conséquent e = i .
Remarque. — Si le point B est infiniment voisin du point A, on a
A, = /• -h dr,
ri=.7- + fly- En désignant par 0 l'angle xi\ on a
?.OAB=T 7-2 r/ G —
,r -+- (t.r, r -\- dy
en appliquant le ^ III, 4.
sin xy
r/,r dy
sin.t) ,
2. Par sinus (Je Vangle solide [trièdre) formé par trois directions x^j, z, on entend, d'après v. Staudt [Journal de Crelle, t. XXIV, p. 252),le facteur par lequel il faut multiplier le produit des arêtes qui aboutissent à un sommet d'un parallélépipède, pour obtenir le volume du parallélépipède. En désignant ce facteur par ûnxyz, on a, comme on sait,
sin.ryz r^ sin^r sin j;; , z = sin.r> sin.rz s\nxy, xz ,
xy^ z et xj^ xz désignant les angles que fait le plan xy avec la direction z et avec le plan xz. Par analogie avec l'équation
%uvxy
I ces xy
cos xy I
APPLICATIONS DKS DÉTERMI ^ ANTS .
on trouve
Sin'.rrrs =
cos.n rog.rz
cosj7> i cos rz
cos.rz cos 13 1
I — coft^xr — cos^r-; — cos\rz -+- 2cosxjcos.rzcosjz *
4 sin sin '— sin — sin -^^~- —
Déinoiistratioft. — De réqualion
sîn j-r sinxzcoso:^, xz = cos/z — cos «y ces. rz, il résulte
I — cos-xy , cosr:
cos/z — cos j"r cos.rz, i
I , cos.rr — cosorj
— cos J'Y cos xz
— cos xz
cos xz
rosxv,
- ces-.»;;
cosxz,
cos > z -
- cos xy
cos xz, I
cos X r
cos.rz
COS.f )
cos JZ
cos rz
cos > z
vz — cos xj- cos rz I
en appliquant les principes du § II, (3 et du § III, i. Ce déterminant, développé d'après le § ^ , 2, donne la formule due à Euler (lYor. Comm. Petrop., t. W , p. i58), et cette formule se transforme aisément, comme on sait, en un prorjuit (Legendre, Eléments de (îéométrie, Note \).
3. Lorsque Ton a à considérer plusieurs tétraèdres et leurs angles solides, il faut distinguer les cas où ils sont de même sens ou de sens contraire. Le sens des figures dans l'espace n'étant pas changé par une translation parallèle, il suffit de comparer les angles solides dont les arêtes x, j>', z et /■, r, , r, parlent d vin même point O. Si les directions de ces arêtes (et non les directions opposées) rencontrent
i8o SECoiviM': l'Mnii:, ^ xvi.
la sphère, décrite du centre O avec le rayon i , aux points X, Y, Z, R, Rj, Ra, les angles solides xyz et ri\T\, ainsi c|ue les tétraèdres OXYZ et ORRiR^, seront ou ne seront pas de même sens, suivant que les triangles spliériques XYZ et RRj Ra, vus du point O, seront ou ne seront pas de même
sens. Dans le premier cas, s'inxjz r= s'inxy smxy ,z et
sin /Vj/g = sin/7'i sin/7'i,/'2 seront de même signe, parce
que, dans des angles solides de même sens, s\nxy,z et
sin/v'i , /"a doivent être de même signe ou de signe contraire, selon que sinoy et sin/Vj, seront de même signe ou désigne contraire. Dans le second cas, ces mêmes quantités sont de signe contraire.
A. Soient O l'origine d'axes coordonnés quelconques; (.r, j", 2), (xi, ^1,^1), [x.,, j-g, Zj) les coordonnées des points A, B, C, et désignons les distances OA, OB, OC par r, /j, i\. Enfin prenons le volume du tétraèdre OABC positivement ou négativement, selon que sin/Tj/'a sera pris positivement ou négativement. On aura
6 OABC = /r, /-j sin rr\ r. =
sin. rrz (*).
Déiiionsf ration. — On a ( 2 )
I cos rr^ cos rr.2
; ' r] r] sin^ r/\ /-j =: /•' /-^ /■
cos rr, I cos r,r, cosrT-2 cos r,r. i
rr rr, cosr r, r r.cosr r,.
n\ cos /y, / , r, r, r. cos /', /\,
rr. cos / r.. /■, / ,, cos r, r-, r-, r.
(*) Laorange, Sur les Vyrnm., i/j {Mémoires de i Académie de Berlin, 177'», p. \f\\)). — MONOE, loc. cit. — MoEBllis, Slatit/uc, §63.
\PPL1CAT10JVS DES DÉTF.«AIl> \ISTS. l8t
Or ou a, par la projection orthogonale,
/• cosxr := X -f- j cos .rj -f- z cos xz = X,
rcosyr = x cos xy -h ,) -r- z cos jz = Y,
/•C0S3/- ■=- X COS xz -|- j cos jz -\- z = z,
/• =: .r cosxr -f- j cos jr 4- ; coscr,
r, cosr/-, =r j:,cos.rr-|- j,cos } r +z,coszr,
etc. Si l'on désigne par Xj, Y,, Z, les quantités analogues relatives à Xj, jj, ;3i 5 par X.,, Y,, Z2 les quantités analogues relatives à j:.,, ^^2 5 2.,, on a
rA- = .rX 4-7 Y -f-;Z, r/-| cos /T, := .r, X -I- J, Y -h 3, Z
= ^X,+jY,4-2Z,,
etc. Par conséquent, en appliquant le théorème du§ VI, 1, on a, au lieu du déterminant ci-dessus, le produit
Donc, en désignant zb i par î,
X, Y, Z. I z= X, Y. zJ
1 COSJ^/ cosxz
COS./.J [ COSJZ
cosxc cosj:; i
rr,r,%\nrr^r,^
sin xyz
Si, parmi les coordonnées des points considérés, .ï", j 1, ^2 sont seules ditïérentes de zéro, toutes les autres étant nulles, alors /'coïncide avecx, i\ avec y^ r^ avec z^ et le déterminant se réduit à son ternie initial (§11,7). Par conséquent e = i .
Remarque. — Au moyen des théorèmes (I) et (i), on peut interpréter géométriquement les plus simples des identités établies au § 11F. 1 1
iSa SECONDE PARTIE, § XVI.
5. Soient donnés les points A, 13, C par leurs coordonnées [x, j), {a:i,ji), [x^, y,), rapportées à deux axes tracés dans le plan ABC. On a
