ABC= I

sin j:j (*).

Démonstration. — Par rapport à un système d'axes mené par l'origine A parallèlement aux axes donnés, les coordonnées des points B et C seront [x^ — x, fi — y), (Xa — X, ji — j) 5 on a par suite (1 )

sm -ry.

En appliquant ce qu'on a vu (§ II, 5 et § III, 4), on trouve, au lieu de ce déterminant,

Remarque. — Toutes les fois que dans la formule ABC on permute deux lettres, la surface du triangle change de signe. Elïectivement, le déterminant des coordonnées éprouve un changement de signe par la permutation de deux lignes horizontales (§ II, 4). Par le développement de ce déterminant, on obtient l'identité connue

ABC = OBC + OCA -h OAB.

Pour exprimer la condition que A soit situé sur la droite BC, c'est-à-dire pour l'équation de la droite p. ssant par B

( * ) Cette formule connue a été donnée sous celte forme par Cayley, Camhiige Math. Jouiti., l. H, p. 368, et par Joachimsthal, Journal de Crelle, t. XL,

APPLICATIONS DES DÉTER.\I1> AJSTS. l83

et C , OU trouve . à cause de ABC = o dans ce cas ,

1 Xj y,

6. Si les points A , B, C, D sont donnés par leurs coordonnées relatives à trois axes (x, 1*, z), (j:, , jx, ^i), [Xt, r*, 22)5 (-^3, X3, -^3) , on a

I or, j, s, I J7, y-, Z; I .3:3 Js ^i

sin .r/c (*).

Démonstration . — Si l'on mène par A un système d'axes parallèles aux axes donnés et de même direction , les coordonnées des points B, C, D par rapport à ces axes seront [Xx — x,y\—x, Zi — z), {Xi — x^y^— y, z^ — z), etc.; par conséquent on a {A)

6 ABCD = x, — x, y-i—y, z, — z sinxjc.

En appliquant ce qui a été vu (§ 11^ o et § III, 4), on trouve, pour la valeur du déterminant multiplié par sin xyz ,