i's Jj S

Bemarque. — Lorsque dans la formule ABCD on permute deux lettres, le volume du tétraèdre change à chaque

C ) CaVLEY, loc. cit. — JoACtlIMSTHAl , (oc . Cil

l84 SECONDE I-AIITIE, §XVI.

fois de signe, ainsi que le déterminant qui entre dans sou expression.

La condition pour que A se ti^ouve dans le plan BCD , et par suile l'équation du plan BCD, est ABCD = o , c'està-dire

I jr, y, c, 1 x-, Jj z.

OU , en développant ,

I Ji 2,

dont on aperçoit immédiatement la signification géométrique.

7. L3\. position du point P par rapport au tétraèdre OABC est déterminée par les rapports des tétraèdres

OBCP : OCAP : oabp : oabc = p, : j;^, : p, : i (*) .

Soient, en efïet, (xj , y^, Zi), (Xa, jg, ^a), (xj, js, ^3), {x,y, x) les coordonnées de A, B, C, P par rapport à trois axes passant par O. On a (4)

et ainsi de suite.

En développant ces équations, et désignant par £,, /;,. ,^1,. . . les coefficients de Xj, ji, z-i,. . . dans le détermi-

x-j y-. Zi

( * ) Laguangk, Sur la Pyrnm., 2S .

\PVLlCAriO>S DES DÉTEUAIl^AMS.

naul \ , il vieut

ibf)

Or on a (§111, i)

te. Par conséqueut

etc

Pour déterminer le rapport PABC : OABC = /7. , développons le déterminant

jr, >-, c,.

JC, J, 3,

I X|J"| Z| I Xj/, z,

1 a^aj, Z3

c'est-à-dire (6 et -4) ,

PABC = OABC — OBCP — OCAP — OABP , (III)

f* = I U, M II.-

De là résulte, a, />, c, r/ étant des quantités quelconquet..

a -In bx -\- ry + </z = jxrt -|- u, (fl + bx, -+- c/, -+- dz,] -h y.; (a -+- bx. -+- cjT: -\- dz-,) ■+- u (i + bx^ + cy . + ^3^,).

Pour trouver la signification géométrique de cette équation, concevons le plan qui a pour équation

t^l^^l il + bx' + 0 ' + ^'

l86 SECONDE PARTIE, §XVI.

Si ce plan est rencontré par des parallèles aux z , menées par P, O, A, B, C, aux points F, O' A', B', C, et que Fait pour coordonnées x, y, z', on aura

a -\- bx + cy ~i~ ^^' ^^ ^ )

a -^ bx ^cy + dz = rf(z — z' ) = rf . P' P ,

etc. On a par conséquent Féquation

(IV) P'P^pi.O'O+p, . A'A + f;i, .B'B + ,a, .C'C(*),

où l'on peut entendre par P', O', A', B', C, les intersections d'un faisceau quelconque de parallèles , menées par P, O, A, B, C, avec un plan quelconque. Par suite on voit que P est le centre de gravité des niasses f/ , /jii , f/g , fXg , placés en O, A , B , C , et dont la somme est égale à l'unité.

8. Soient Ai , Bj , Ci les milieux de O A , OB , OC ; le tétraèdre OABC sera partagé en deux parties équivalentes par chacun des plans AjBC, ABjC, ABCi , et le centre de gravité P du tétraèdre OABC se trouvera sur chacun de ces plans médians, de telle sorte qu'on aura

A,BCP=o, AB.CP — o, ABC,P = o.

Al ayant pour coordonnées '-Xi , 7/1 , 7^1 , on a (6) , d'après les notations précédentes,

I X2 y-i Zi I "^i y% Z3

(*) Feuerbach, Untersuchung der drcieckigen Pyramide, p. 5. — MoEBius, Barfc. Cale, cap. i . Les quantités ,«, //.,, /x^, //j sont les coordonnées baryrciitriques ( coeiïicicnls coordonnés ) du point P par ra])port à la pyramide londamentalc OAIU', selon Mœbius et Feueibach

etc. Par conséquent

2 p., -h U, -+- fi,, =: t,

Ut -f- 2 p.; -h fX; = I ,

p., -f- Uj -f- 2 p.;; =: I,

d'où 1 on lire

Donc a = -T» et l'on a

^, -f- •^•. -I- ^-3 J, -h J-i + Xi Z^-\- Z^-h Za X=--- ^ , j:^ ^ , 3=. -^ ,

c'est-à-dire que le centre de gravité d'un tétraèdre est le sommet commun de quatre tétraèdres équivalents, ayant pour bases les faces du tétraèdre , et aussi le centre de gravité de quatre masses égales, ayant leurs centres de gravité respectifs aux sommets du tétraèdre (*).

9. Etant données les équations des côtés d'un triangle par rapport à un système de deux axes, on trouve la surfac<; du triangle de la manière suivante {**). Soient

a : b ; c , «, : ^, : Cl , ai '. b, '. C2

les coordonnées des côtés , c'est-à-dire , supposons que . pour chaque point du premier côté , ayant pour coordonnées p^ q^ on ait a-\- hp -\- cq = o, et de môme pour les autres. Les coordonnées des sommets (x, /), {xi,)i), (•^2, Xalî avec les trois quantités auxiliaires/;, y^i, /Pg? sont déterminées par les équations

a -\-b x-{-c y^=^p, n ■+- b r, -f-c ri=^o, n -+- b .r,, -hc ji=;0, a,-|- è,A-4-c,r = o, «i-hZ'.j:, -}-c,ji :=/>,, «, -h ^1 J^2 + ^ij: = 0, «2+ èj.r-f-Cj/ = o, (72 -I- b-,Xy -\-(\y,z=o, n.-\- b-..r..-\- c^^y :—. p , ^

(") Lagrange, Su/- /fi /'//■.. !^i-:i'). .

{'*) JOACIUMSTllAI,, Journal ilr Crellc, 1. XI., p. 2.1.

l88 SECOINDE l'AKTlK, (j^ XVI.

lesquelles expriment que le point (jp, y) est situé sur la deuxième et sur la troisième droite, mais non sur la première, etc. On a, par le § VI, 1 ,

Des trois premièj'es équations, il résulte (§ IX, 3 ; ^ III, 3^

abc n^ /;, C| a, b, c, p a z=z o .

o b, Cj

en désignant par R le déterminant des coefficients des droites, et par a le coefficient de a dans ce déterminant. On

a d'une manière analogue

R — p,ot.t = o, R Par suite, il vient (§ II, 7)

= pp,p,= ,

et par conséquent le double de

a surface

cliercliéc

triangle a pour valeur

R^ sin xy

Après avoir calculé, par les formules connues , les hauteurs du triangle, c'est-à-dire les distances des points [x , y) ^ (x, , 7i), [x.i^y^y)h la première, à la deuxième, à la troisième dioile respectivement, on obtient les côtés du triangle en divisant par ces hauteurs le double de la surface que l'on vient de trouver.

APVLiCA ^l()^s ui;s uicteumunams, 189

Si le déleriiiin;uu des coordonnées linéaires s'anniiK;

sans que deux lignes horizontales soient composées des

mêmes éléments, alors les trois droites passent par un

même point situé à une distance finie.

10. Etant données les équations des faces d'un tétraèdre par rapport à un système de trois axes, on trouvera le volume du tétraèdre de la même manière qu'on a trouvé la surface du triangle au moyen des côtés [*). Soient

r/, ûT, : /;, : f 1 : <V|

les coordonnées des faces, c'est-à-dire supposons que pour un point quelconque de la première face ayant pour coordonnées /?, <7, /■, on ait a -h hp -\- cq -{- dr = o , etc. On déterminera les coordonnées des sommets [x^ j', 2), (J^i,/" -^0' (-^2, J2, -^2), (-^3, r^-> ^3)» avec les quantités auxiliaires /7, /?i , p^^p^-, par les quatre systèmes, de (juatre équations chacun,

a + bx -t- cj -{-dz =/», r/, -\- b^x-\- c,y -^ d,z=io, rtj-h èjX-r- c^j -{-d^z z= o, «3-1- 63.r-|-C3j-l-rfsZ = O,

etc., lesquelles expriment que le point {x,j, z) est situé sur le deuxième, le troisième et le quatrième plan, et non sur le premier, etc. On a (§ VI, \)

ft \

(*) JdACIIlMSTIlM., loC. cil.

19" SKCOMDE PAKTIE, ^XVH.

Du premier système de ([uatre équations on lire

R étant le déterminant des coordonnées superficielles, et a le coefficient qui multiplie a dans R. On a semblablemcnt

R — P\^\ = c et par conséquent

Pi a.' =: o , R — p, a 5

PP^PlPs

ïi

cl le sextuple du volume cherché du tétraèdre (6) aura pour valeur

R' sin x.jz

Do là on peut, au moyen des hauteurs du tétraèdre, déduire les aires de ses faces.

Si le déterminant des coordonnées superficielles est nul, sans que deux lignes horizontales de ses éléments soient identiques, les quatre plans passeront par un même point situé à une distance finie.

§ XVII. — Sav les produiLs de surfaces de triangles et de volumes de tétraèdres.

1 . Soient X, j-, /-, /•, des directions quelconques dans un plan, (!t supposons que les angles positifs entre ces directions soient décrits par des rotations de même sens. On

AI'PLICATIOKS DES DETEUM1^A^TS.

sin j-) sm rr, =

cos xr oos )■/■ cosj-r, cosjr,

r^, sin xy sin /r, =

Démonstration. — On peut, sans altérer les angles, faire partir les directions données d'un même point O. Prenons sur les directions r, 7*j les segments positifs OA = r, OB^ Ti, et soient (x, j), (^i , j^i ) les coordonnées des points A, B par rapport aux axes x, J^ On aura (§ XVI, 1 )

I cosjrr I cos .r>' I j j X + )■ cosJTj)", X co^xy-\-y I x^ -h r, cos.rr, .r, cosxv -f- r j /• cosxr, r cosjT I ; r^ cos xr^ , r\ cosjr/'i ]

doù résulte (§ III, "2) la proposition énoncée.

2. Les triangles AAj A, et BBi B^ étant situés dans un même plan, si l'on pose

AA. .BBi. cos ( AA, , BB/ ) = r,./, , (in aura