AA, A, BB,B
Démonstration. — Posons A A i = x, AAî = > . Blî, = r BB,= /', : il viendra (1)
4 AA, A; .BB, B. = xrrr, sin xy sin rr,
.rr cosxr, > v cos jr xr, cos xr, , jr, ces r'i
Le produit C;^^ n'est pas ambigu, comme il pourrait le paraître. Déterminons arbitrairement les directions positives des droites AA, et BB,, c'est-à-dire les directions sui-
ig-2 SECOMJK PAllTIE, ^ WII.
vaut lesquelles les dlstaiiros doivent être comptées positivement sur ces droites. Par là les facteurs cos^AA, , BB^j •. AA, , BBi prennent des signes déterminés. Si l'on avait pris la direction positive d'une droite, par exemple, de AA^,
dans le sens opposé, l'angle ( A A,, BB/;/ aurait varié de i8o",
et par suite cos(AA,,BB,j aurait changé de signe, en même temps que la distance AA,.
3. Si les plans des triangles AA] A.,, BBj B, font entre eux l'angle 9, on a, d'après la notation précédente,
4 A A, A,.BB, B,.coS'^ =
Démonstration. — Soit jNlNiNa la projection orthogonale de RB, B2 sur le plan AAi A,; on peut appliquei- au produit 4 AA, Ag . ]NN| N2 le théorème précédent. On a alors, d'une part,
N]\,N,= BB.BjCos^, et d'autre part
AA, .NN,.cos(aA,,NN,) = AA,.BB,.cos(aA,,BB,),
etc., les projections orthogonales de jNN, et de BB, sur la droite AA, étant identiques.
Le produit 4 A A, Ag. BB, B2.cos(jp n'est pas amhigu, non plus que le déterminant que l'on a trouvé pour sa valeur. Ayant choisi à volonté le sens positif dans chacun des deux plans, c'est-à-dire le sens dans lequel on doit compter positivement les angles et les surfaces, on en tirera les signes des triangles AA, A2, BB, Bg, et alors on entendra par ç l'angle que doit décrire l'un des plans pour que les triangles positifs dans les deux plans se trouvent de même sens. Si l'on change le sens positif dans l'un des plans, deux des
AFVLlCATIO^S DES DÉTEKMI N V NTS . I q3
lacteuis du pioduil cliangenl de signe, savoir, le triangle et cos^, l'angle cp variant de iSn^; donc 1(; produit ne change pas.
i. En désignant par x, >, /•, /■, des directions quelconques de l'espace, on a
sin XY sin /T| cos \ xy, rr,
{.zr,rr,)z=
cos xr cosyr cosjr/-, cos/r.
Démonstration. — Faisons passer les directions données par un même point O, et prenons sur ces directions les distances positives OC=:a:. 0D= )-. 0E = /\ OF = ri : on aura
.Tjrr, sin .rj sm /•/•, cos
xr cosxr, jr cosyr 1 xr, cosxr, , jr, cos jr, | '
d'où, en supprimant ]<■ facteur commun xyn\ , on tire la proposition énoncée.
Remarque. — Pour démontrer la vérité de cette même proposition relativement à quatre plans quelconques (**), il suffît d'appliquer la proposition aux normales positives de ces plans, ou, ce qui revient au même, à la figure polaire du quadrilatère CDEF considéré ci-dessus, en supposant les points C, D, E. F situés sur une sphère décrite du centre O. Celte sphère sera rencontrée en un point par l'intersection de deux plans prise dans une direction choisie arbitrairement, et sera rencontrée par chaque plan suivant un grand cercle d'un sens déterminé arbitrairement, sans
C) Celle proposition, qui comprend les proposilions précédentes trouvées par Von Staudt, a été établie pour la première (ois par Gauss {Distj . gen. circa superf. cuntis, II, 6) ; puis elle a été reproduite par Von Staudt, Jourliai de Crelle, t. XXIV, p. 20?, et en dernier lieu par Caucliy, Excrcicfs J' Analyse, t. IV, p. /)'
( "* ) JoACHiMSTiiAL, loc , Cit., p 4i>'' dtuiiie uuc deinmistralion arjah tique de ce corollaire relatif i» la figure polaire.
194 SECONDE PARTIE, ^ XVU.
que le produit dont la valeur est donnée par le déterminant présente une ambiguïté de signe.
