CA.BD

On voit par là comment les équations (II) et (III) peuvent se déduire l'une de l'autre.

6. Si X, j, z, 7-, /'i , Ta, sont des directions quelconques dans l'espace, on a

CCS xr cos yr cos zr ces xr, cos JT, cos zry cos.rr.1^ cosj/'2 ces zr.

sin .xyz sin rr, rj =

Démonstration . — Faisons passer les directions données par un même point O, et prenons sur ces directions les segments positifs OA = r, OB = r\, OC = rg 5 soient (x,y, z), (xi^ji, Zi), {x^, j-î, ^2)5 les coordonnées des points A. B, C par rapport aux axes .r, y, z. On a (§ XVI. 4)

rr, Tj sm .ryz sin rr, r^ =

I cos .z'j- cos xz

cos ,27/ I cos yz

cos .rz COS/2; I

.,: j j- cos.rj+z cos j:z, X COS xy-\-y -\-z cosjz, x cosa:z -f- jcosjz-j-z •^i-f-JiCOSarj+z, cosxz, X, cos.rj4-j,+z,cosjz, x, cosj^z+y, CGSr^+z, ■î^2-<-7iCosj:jH-Z2COSxz, x^ cos jrj-j-jj-t-zjcos/z, Xj cos^zz+jy., cos jz+z,

r cos xr r cosjr r cos zr r, cos J^r, r, cos jr, r, cos zr, rj cos xr^ r, cos/r, r, cos zr^

d'où, en supprimant le facteur commun rt\i\, on conclut la proposition énoncée.

( " ) BnETSCUNFjDER, Géoniéilie, § 677 .

( **) Von Staudt, loc. cit. Le cas particulier oii le système a^, /, s est orthoffonal, et où par suite sin r?r: =: dt i , a été traité déjà par Gauss, loc. cii .

7. En désignant par c, .^ le même produit de segments que ci-dessus (2) , on a