Les déterminants

cos xr

cos x/ 1

cos )7

cos j/-.

cosjrr cosjr cos:/ cos .rr, cos j/ , cos z/-, cos J:r^ cos j;^ cos zr^

ont, en vertu de leurs valeurs trouvées (1, 4, 6), la propriété remarquable de n'éprouver aucun changement, lorsqu'on fait varier d'une manière quelconque la position relative des angles xy.,rri d'une part, et des angles solides .TCjz^ n\ r, de l'autre, pourvu que, dans le premier cas,

l'angle dièdre \xj,rri) conserve sa grandeur (**).

9. Au moyen de l'équation (6) , on- peut calculer la dislance de deux droites dans l'espace, données de position par

( ' ) Von Staudt, loc . cit. Dans le cas où le second tétraèdre n'es-t pas différent du premier, alors on a c^ j. = c,. ,, et l'on obtient la formule do Lagrange {Sur les pjr., i5), et de Legendrc ( Élimcnis dr G'Otuctnc, Note V, 7).

{ '*) ('al'ciiv, Errrciccs d'AnnI) sr, t. IV, p. 5i .

igS SECONDE PAUTIE. §X\II.

rapport à vin système d'axes quelconque J^, J, z. Soient (Xi,/i, 2i), [x^,ji, 22) les coordonnées des points A et B-, soient données les directions r, , /•-> des droites AA , BB' au moyen de leurs angles avec les axes, de sorte que Ton puisse calculer l'angle i\ i\ . Désignons par r la distance AB , dont les projections sont x^ — x^, y^ — Ji , -, — -, , et par d la distance cherchée des droites AA', BB'. Tirons enfin AC dans la direction /> , ei prenons AA', AC ('j^ales à l'unité de longueur. On a

6 AA' CB = d sin r, /;, = r sin rr, r, ,

cl [)ai suite

c/sin xYz sin /, r\ r= «11 ieinar<[uanl (|ue

rcosa-v /-cosj/ /cosz/tx)S.r/-| cos^iv, ces :/•, cos.r/j cosj/'j cos z/'..

/ co^xr = (x. — .r,

+ [j\. — y\)cosxy-\- {z-: — Z|)cosj-:;, /■ cos yr = ( x, — .r, ) cos xy ■+ ( j ■, — r , ) -h{z, — z,) cos jz,

/• cos zr = (.r, — x, ) cos.rz -+- (j, —y,) cosjz -+- (z, — z, ).

( )n obtient, en développarit (*) ,

^/sin.^rzsin/-, /•, ==: (a + ficos.rj + ^cos.rz) (x. — a:,)

H- ( a cos xr -4- [i + 7 cos jz ) ( j, — .r , )

-h ( a cos xz 4- p cos vz + 7 ) ( z, — z, ) ,

en posanl. pour abrégei-,

fi

cos >'/, COSZ/'i

cos y r-i cos z/..

cos z/-, cos ./r, cos :v cos./v

cos.rr, cos j^", cos xr. cos r /\

(*1 C.AL'CIIV, Lrco/ij a;//' /r,s (ift/tliralioiis du ciilriil injinilt'siiiidl , l'ielimiii:tii-rs (lO').

APPLICATIONS DES DÉTERMINANTS. igg