cos zn vos zb
En dégageant de ce déterminant le facteur ( — 2)', oJi obtient l'équation qu'il s agissait de démontrer.
11. En désignant par a^ b, c les directions des rayons OA, OB, OC d'un cercle; par^, g^ h les carrés des côtés du triangle inscrit ABC; par /• le rayon du cercle; en multipliant par 8r^ les deux membres de la première des équations goniométriques établies au n° 10, et remarquant que
/■•sinab = 2OAB, 4'"'^''^' — = f^ ^^*^- • • y .on a
(4r.ABC)^= - ^ 2
relation connue.
En désignant par «, />, t". d les directions des rayons OA, OB, OC. OD d une sphère; [iaij\g,h les carrés des arêtes BC, CA, AB du tétraèdre inscrit ABCD-, par/', g', h' les carrés des arêtes respeclivemeni opposées AD, BO. CD; par / le rayon de la sphère; en multipliant par 16/" les deux mcmbn's dr \a pconflc des équations établies ;ui n" 10,
202 SECOINDE PAUTIE , ^ WII.
Ci observant (juc
/■^sin«/-'^/ = 60ABD, 4'"'sin=
/i, etc.
il vient
pour l'expression du rayon de la sphère circonscrite au tétraèdre, en fonction des arêtes et du volume (*).
12. Le produit, que l'on rencontre souvent, de deux longueurs par le cosinus de Fangle qu'elles comprennent, peut s'exprimer au moyen des carrés des droites qui joignent les extrémités de ces longueurs, moyennant quoi les produits de polygones et de polyèdres peuvent prendre des formes remarquables.
En prenant les notations du n" 5, III, on a
2AB.CDcos77,=:2AD.CDcosa,7, — 2BD.CDcos^,7,. Or on a généralement
2 AD. CD ces a, 7, = AD^ + CD= — AC-, 2 BC. CD cosp,7, = BD^ + CD' — BC%
«t par suite
2AB.CD(os77, = AD' — BD'— (AC^ - BC^)(**).
1^. En désignani par «?,,< le carré de la distance A/lî/, on a, [)our deux triangles doiil les plans font entre eux
(*) La leluUoii trouvëi; par Crelle {Muih. Aufsalzc, (. I, p 117) a élo ramenée il cette Corme p;ir ,li>:irbims(li;tt, Im- >ii C 27). f " * ) Carn'ot, Inc . rit.
APPLICATIONS DES DÉTERMIN AISTS.
èo3
l'angle 9,
lôAïAjAi.BiB^Bj.costp = —
1 r/,, J,, du I rf,2 dt2 di-i
I rf,3 r/23 ^33
les premiers indices se rapportant au premier triangle, et les seconds indices au second triangle.
Démonstration. — D'après (3), on a, en vertu des notalions adoptées,
16A1A2A3.B1B2B, .COS(f ==
Or on a (12)
Le déterminant
^12 — dri — {d,, — dji), d,, — di-, ~ [du— du) dt3 — dr, — {dn — d,,), r/,3 — d^i— (r/,i — f/31)
peut (§ II, 6, et § III, 4) se transformer en
I, d,, — d,, — {d,, — d,,), f/,,— f/s, — (^Ai — ^3,) I, d^, — d,,—{dn — fin), d,, — d,, — {dt, — d,,) I , <'/,3 — d,, — [du — ^21 ), (irs — di^ — [du — d,,)
i , o, dn, I , d,2, !>
I — I , I — I ^11 — ^21 , du — c?3i
rf, 2 ^J2 ? «^I 2 ''A2
1, du — d,,, du — <^/3i
ï, ^^2 dï2, dyi ^/32
1 f/,| r/21 c/s, I d^. dn, r/jj I <^/,;, r/23 ^33
Corollaire I. — Si les points B, , h, , B3 coïncident res
(*) La proposition établie pour la piemicrc l'ois par Von Staiidt, loc . rit . , a été mise sous celle l'orme, ira|>rès Cayley, par Sylvcstcr ( l'hiln<o/>h!cnl Magazine, |852; I. Il, p J^ij). Koi/' fi- ilessous. § X\ III, 0 <•( 1?
dr.
dn
