PREMIÈRE PARTIE

on a , pour la différentielle complète ,

les ternies de cette somme se déduisant de a,^^ «?«,,;, en remplaçant / et k successivement par tous les indices depuis i jusqu'à 71.

Soient, par exemple, ji ,/2» • ■ ■ ^fn des fonctions de x:, désignons le Â'^""" quotient différentiel de fi par j, ,<; formons le déterminant

JTl.n— I y'i.n—l • ' • Jn./i — I

et désignons par yj, ,( le coefficient de j,^< dans R„. On a, d'après la formule que nous venons d'établir,

dx

fiyi.k

dx

La somme (1)

7ÎI,/, Jl^/,^| -f- 312.A J2,<-+I ■+-■'• 4-*î«,A J«J + 1

s'annule pour toute valeur de A inférieure à n — i ^ il reste, par conséquent.

il. Théoi'.ème. — Si Ton a R= 2±irt,,i a,,,- • •«„,,. et

(*) Jacobi, Del., (i.

(**) ArEI-, iouinal de Crrllf, t. Il, p. 2' t. XXXIX, ).. .)i,

Malmstkn, Journal de Ciellc,

THÉOKIE DES DÉTERMINANTS. 2^

que «,,;( désigne le coefficient de a,^^ dans R; si de plus B = 2 ± ^1^, &2 2 . . . &„i,„i, et que (3,^^ soit le coefficient de l'élément b,^i dans B; si enfin on forme au moyen de B de nouveaux déterminants B,, en remplaçant les éléments de la première ligne verticale ^j,i, h^^i. . . . , ^„i,i par les éléments «i^,, <7, ,,. . ., a„i^,, on aura identiquement

Démonstration. — D'après (i). on aies identités

^•H,i (1,,-iA -+- y-«,-' '''«-1.;;-*- ... H- y-H.„«»-i,„ = O.

En multipliant ces équations respectivement par les quantités

Pl,i ? P-,1 1 • • • J Ph— 1,1 J

et faisant la somme des équations ainsi obtenues, la quantité a,,^, aura pour coefficient, dans cette somme, l'expression

B, = a,,, fi,,, -4- a,,, fi,., + . . . -h fl„-,,,- P„,,i,

qui se déduit du déterminant

en remplaçant les éléments /'i,i, ^«, ,,..., ^n i,i |iar les éléments «),,, «2,0- • • ^ <^'i-i,i-

(*) liezont {Équaiions algéhriqucs, 1779, § 220) a indique les cns Ic^ plus simples de cette idenlité.

•iG puEMiÈr.E l'AP.TiE. ^ rv.

Exemples. — En ('crivaiil, pour abréger,

nh).

au lieu de

(abc) ,

abc

[abcd),.