AA,A.A,.BB,B.B
'/il 721 > • • • » étant les coefficients de Cj,, Coi, . . déterminant des éléments Ci,,w..,C33, et désignant des produits de surfaces de l'espèce considérée au n° 3.
16. Lagrange (iS«r les pjr.^ 12) a remaïqué que, pouila quatrième face ABC du tétraèdre, on a, d'après les notations adoptées au n" 15, l'équation
/î( ABC)^ = «„„ + a,i -+- a,, -t- 2a„| + 2a,.j-+- 2«vi,,
, dans le
>(JC)
OU bien
( ABC)^' =f' + /; +/; -i- ?.// cos„, 4- 2/ /, cos,, + 2/,/cos,„.
Cette ëqualiou s'obtient de la manière la plus simple, en la considérant comme la corrélative polaire de l'équation tétragonométrique {yoir § XVI, 4, et § XVIII, 2, corollaire)
r= = X- -h J^ -f- z^ -\- 2.rjcos.r> + 2jzcos rz -f- 2 2.rCOSZJ.
A l'aidedes formules trouvées pour (2 ABC) ^ et (6 OABC)* , Lagrange [Sur les pyr., 17) a entrepris la résolution du problème qui consiste à déterminer le tétraèdre de volume maximum ou minimum, parmi ceux dont les faces ont les aires données /, fi,/^-, fx- A cause de
«00 = 4/% =«n=4/!> =^22 = 4/2% «ou 4- «Il -h «.'2 -+- 2aoi H- 3.-K|2 -+- aa;;^, = 4/3?
la quatrième puissance du sextuple du volume du tétraèdre, savoir (IS),
«00 «Jl «os
«01 «Il «IJ
«n.: «IV «2?
sera une fonction de variables «on 5:02? se,,, dont la somme r a une valeur donnée. Les conditions pour que u obtienne une valeur maximum ou minimum sont, comme on sait.
du de
du dv
du
aao, ' ««01
rfa.
fx désignant une nouvelle variable, (ju'il s'agit d'élimineientre ces équations. Or — - — est le coefîicieni de «„, dans n (§ III, 9). et a pour valeur R«oi (§ ^ H- '^). en
posant (15)
SECONDE PAKTIfc:, § XVII.
R z= \Ju —
«Og <2„| rt(|2
a„, fl|| fl|2
flo2 ^^rj <5!j2
dv
De plus, on a — — = i , etc .... ; par conséquent le tétraèdre
cherché doit satisfaire aux conditions a^^ = ûoî = ^is? c'està-dire
rr^ cos rr, = rr, ces rrj = /•, T;; ces r, a^ . En posant la valeur commune de ces produits d'arêtes = yô, il vient
/^rjr^, =(G-|-a„o)(6 + a,,)(9 + a„),
pour le calcul de r, ri, i\ au m.oyen des quantités données et de la quantité 0, qui reste encore à déterminer. Or on a, dans le cas actuel,
= la quantité constante (cfoo -H «u + «22 — '^f\)t ^^^
nous désignerons, pour abréger, par — c. On tire de là
{r'' -^ r\ + r; ) v'G = 3 9 H- r, {t^ + r\ +r\-^ -xr^r] + o.r^r\ -}- ^r^ r^ ) 9 = 09= + 6^6 + <r%
■(9 + «„)(9-+-a22) , (9 + aî2)(9-î-aoo) , {^ + ol,,) [Q -^ cl,,)'
