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équation du quatrième degré pour le calcul de la quantité auxiliaire B au moyeit des quantités données. Cette équation

APPLICATIOKS DES DÉTEKMIIVAMTS. 211

a toujours une racine réelle positive, puisque le coeflficient de 6*; dans le premier membre, et le terme connu, dans le second membre, sont de même signe.

Il reste encore à désirer une discussion plus approfondie de celte équation, ainsi que l'étude des propriétés géométriques des tétraèdres qui ont un volume maximum pour des valeurs données des aires de leurs faces.

§ XVIIl. — Relations polygonométriques et poljédrométriq ues .

\ . Soient AB = a, , BC^aj, . . . , MN = û!„i, NA = a„ les côtés d'un polygone donné quelconque, et coSp^. le cosinus de l'angle que la droite sur laquelle est pris le i'^'"^ côlé du polygone fait avec une droite donnée quelconque. On a

rt, COS^,, -t- Oi COSy,,2-|-. . . H- OnCOSp^r, = o (*)•

En effet, si l'on désigne par A, , Bi , . . . les projections orthogonales de A, B, . . . sur la droile donnée, on a

en supposant A, B, =i — B, Aj, etc. On a

A, B, = AB coSp , ,

de quelque manière qu on ait choisi la direction des segments positifs sur les droites dont AB et Ai Bi sont des segments, parce que, en changeant une direction en son opposée, il y a deux des quantités AB, Aj Bj , cos^^, qui changent de signe. En substituant les valeurs de A i Bj , BjCi,..., on obtient l'équation fondamentale de la polygonométrie que nous venons de poser.

(*) Lexell, ^ov. Conim. Peirop., 19, p. 187. — L'Hi'ilier, Polygonométrie, p. 20 — Carnot, Géoni. de pos., 7bi\.