SECONDE PARTIE, ^ XVIII

Récipro(juement, si a, , «,,..., a„ désiijnenl des segments de direction donnée, et eos^, , le cosinus de l'angle que fait la droite sur laquelle est pris le /"'""' segment avec une droite quelconque ; si la somme

sevanouit, de quelque manière que l'on choisisse la droite arbitraire 5 on obtient un polygone fermé lorsque, sans changer la direction des segments, on fait coïncider le commencement du second avec la fin du premier, le commencement du troisième avec la fin du second, etc; car, dans le cas où la fin du dernier segment ne coïnciderait pas avec le commencement du premier, la somme

«1 COS^,,, -+- <?., 008^^2 -h. . . -H rt„COS/,,„

ne serait pas nulle en général, ce qui serait contraire à Thy pothèse.

2. Si les périmètres des faces d'un polyèdre quelconque sont tels, que toutes les faces, vues de dehors, soient de même sens; si, déplus, après avoir fixé dans chacun des plans le sens des angles et des surfaces positifs, on pose les faces du polyèdre =a,, «2,. • •, a„; si enfin cos^^j est le cosinus de l'angle que le plan sur lequel est située la face a. iait avec un plan pris arbitrairement; on a

a, COS^,,, -+- «i C0Sy,,3 + . . . + a„COS^,„ = G (*).

Démonstration. — Considérons, d'après ce qui a été dit dans le corollaire II du § XVII, 1 i, le polyèdre comme décomposé en tétraèdres: soient ABCD l'un d'eux et Ai Bi Ci D, sa projection sur le plan arbitraire. On a (§ XVI, 5)

(*) VHviLiT.R, Thèori-mes d{^ PolyédroméLvic, 1799 ( Mémoires présentés à riiistitiit, t. I, 180.5, p. îfi.'i). — Caunot, Ioc. cil.

APPLICATIONS DES DÉTEP.MINAJNTS -il.")

et par suite

ABC cos^,/, + CBD cos^,,, -I- BAD coS/,,^ + ACD coSpj — o,

/^, /, k, l étant les indices relatifs aux plans des triangles projetés. Il existera des équations analogues pour les autres tétraèdres qui composent le polyèdre. En faisant la somme de toutes ces équations, on trouve

a, cos^, , + a, cos^,2 -I- . . . + a„ cos^,„ = G ,

parce que chacun des triangles qui n'appartiennent pas à la surface du polyèdre appartient aux surfaces de deux tétiaèdres, comme positif pour lun et comme négatif pour 1 autre, de telle sorte qu'il disparaît de la somme. Si, par exemple, le polyèdre est la somme des tétraèdres ABCD et ADCE, la surface de ABCD sera formée de