C-i (li
osi a
[bc] {nd) + [ca] {hd)-h{ab) {cd) = o (*), ( bcd) {nef) ~ [cda ) ( bef) -f- [dab ) [cef] — [abc) [def] = o , ( bcde) [afgh ) + {cdea) (bfgh) -+- [deab) [r/g/i]
-\- [cnbc) [dfgli) -\-{abcd) {efgh) = o, etc —
Remarque. — : Les propositions géométriques torrespoiidantes [%wir ci-dessous, ^ XVI) ont été établies par Monge, 1809 [Journal de V École Polytechnique, XV*^ cahier, p. 68), et, depuis, par Mœbius [Baryc. calc.^ §§ 166 et 171). Le théorème précédent est contenu dans la décomposition générale du produit de deux déterminants, que Sylvesler adonnée [Philos. Mag.^ i85i, t. Il, p, 142; compar. iSSa, t. Il, p. 342), et dont Faà de Bruno [Journal de LiouK^ille, t. XVII, p. 190) a publié une démonslration très-simple.
^IV. ■ — Décomposition d'un déterminant en une somme de produits de délerminnnts partiels.
\. Théorème. — Partageons les lignes horizontales d'un système donné de n^ éléments cîi groupes, dont le premier
C) Cl'Uo identilé se trouve déjà, d'après l'indicatioi) de VandermOndc {loc. cit., p. 527), dans les Mémoires publics par Fontaine, i-n/j (au «ommencemenl de sa Seconde nu'lhodc du calcul intégral, p. 90)
THÉOI'.XE UES DÉTEKMIKAMS. "xn
toulienne les a premières lignes horizontales, le deuxième les |S suivantes, le troisième les y suivantes; et ainsi de suite, de sorte qu'on ait a -t- S -h y -|- . . . = /z ^
Formons, avec une combinaison quelconque de a lignes verticales du premier groupe (rangées suivant Tordre ascendant), le déterminant A de degré a;
Parmi les lignes verticales du second groupe, laissons de côté les prolongements des lignes verticales qui entrent dans A, et avec une combinaison quelconque de |3 des lignes verticales restantes, formons le déterminant B de degré (î;
Parmi les lignes verticales du troisième groupe, laissons de côté les prolongements des lignes verticales qui entrent dans A et dans B, et formons, avec une combinaison quelconque de y des lignes verticales restantes, le déterminant C de degré y; et ainsi de suite 5
Parmi les lignes verticales du dernier groupe . laissons de côté les prolongements des lignes verticales qui entrent dans A, B, C, . . . , et formons, avec les lignes verticales restantes, un déterminant de degré n — a — j3 — y . . . . En formant le produit ABC ... de toutes les manières possibles, et donnant aux divers produits le signe -h ou le signe — , suivant que la série de tous les seconds indices est une permutation des seconds indices donnés appartenant à la première ou à la seconde classe: la somme de ces produits est égale au déterminant donné (*).
Démonstration. — Un produit tel que i\BC. . . renferme ceux des termes du déterminant qui se déduisent du ternu'
principal
en laissant invariables les premiers indices, et paitageant au contraire les seconds indices en groupes (rangés suivant
(*) jAcnci, Del., 8, d'après Laplacc, /or. cit., p. ''p/) .
28 rHEMlKKE rAUTll-, , ^ IV.
l'ordre asiondanl) de a, jS, y,. . . imlices, et pciuiulaul les indices dans cliacun de ces groupes. Si l'on eOeciue le i;roupemenl de toutes les manières possibles, et que l'on permute chaque fois les indices dans les divers groupes, on obtient toutes les permutations des seconds indices donnés. La somme de tous les produits ABC. . . comprend par conséquent tous les termes du déterminant donné. Le déterminant A peut être composé de
n[n — 1 ) . . .[il — 7. -I- I )
manières diUereiiles, puisque c est là le nombre des condjinaisons de n indices pris c à a. Pour chaque déterminant A.
on peut former
déterminants B ditîerents, puis-
que c'est là le nombre des combinaisons (i à (3 des /z — a indices restants. Pour chaque produit AI), on peut former
déterminants C diiîérents, et ainsi de suite.
Par conséquent, on peut en général former
— 7. — fi\ 1.2.
