OB' OC
MB'r MC^
au lieu de 0A% 0B% 00% . . . , les autres quantités ne subissant aucun changement.
En multipliant ensuite le déterminant
T + 'ir + s,— , I, X, X, s a- p- 7-
par le déterminant
( * ) Celle propriété a été indiquée i>ar Jortchinu.lh.il, Jciinhil tic Ci elle, t. XL, p. 32.
23o .SKCOJNDF. PAliTlE, §X\UJ,
jl vient I expiessiou
dio ... d,,-
en posant
do\ = — : -^-''tt;
7 z; .rjT,
expression (jue Ton trouve, comme ci-dessus, égale à AW divisé par le carré du demi -diamètre parallèle à AB; et ainsi de suite,
11. Une section conique du second degré est déterminée par un de ses loyers O et par trois autres points A, B, C; par conséquent quatre points et un foyer d'une même conique doivent avoir entre eux une certaine relation. La surface de révolution du second degré qui résulte de la rotation d'une section conique autour de son axe principal, est déterminée par un de ses foyers O et par quatre autres points A, 13, C, D, de sorte qu'il doit exister une relation entre cinq points d'une pareille surface et l'un de ses foyers. Ces relations ont été indiquées et démontrées par Mobius [Journal de d'elle, t. XXVI, p. 29).
On peut déduire ces relations de ce théorème connu, que le rayon vecteur OA = /• d'une section conique ou d'une Miifa((' de révolution de l'espèce indiquée est une fonction
APPLICATIONS DES DÉTEKMIJNAJVTS. 23 I
linéaire des coordonnées x, y, ou x, j, z du point A, par rapport à des axes quelconques. Soient Xj, ji ou x,, /n ^i les coordonnées de B, etc . .
A-, = rt H- ^x, H- cj, , r. = a -f- èzj -h c> ,. , r^^:^ a -^ bx, H- tTi ;
par conséquent (^ IX, 3),
. 5 on a
/• = « H- /)X + tj + r/2 ,
r\ =: « + 6x4 + f/4 4- dz^ ;
c'est-à-dire (§X\'I, 5, 6) (Il OA.BCD — OB.CDA
OC.DAB — OD.ABC = o,
O A . BCDE + OB . CDEA + OC . DEAB + OD . EABC + OE.ABCD= o.
Si A, B, C, D sont situés sur la surface de révolution, et eu même temps sur un plan passant par O, on a ABCD = o,
et
BCDE : — CDAE : DABE : — ABCE = BCD : — CDA : DAB : — ABC, et par suite
OA . BCD — OB . CDA -h OC . DAB — OD ABC = o ;
c'est-à-dire que la surface de révolution est coupée par un plan passant par un de ses foyers, suivant une ligne du second degré dont ce point est un foyer (Mobius, /. c).
12. La relation entre les dislances mutuelles de cinq points dans l'espace a été donnée [tour la première fois par i.agrange sous une fonrvc liop peu développée; puis elle a
2^2 SECOWUE PARTIE, §XVni.
été traitée à plusieurs reprises par Carnot, sans que Ion parvînt à uo résultat présenté avec clarté (3). La relation la plus simple entre cinq points de l'espace A, B, C, D, E, dont les coordonnées par rapport à trois axes quelconques sont (•^njij^i), (.r2,7^2, ^2), . • . , s'obtient en développant d'après le § III, 6, l'identité (§ II, 4)
I I X, Ji Z,
vl interprétant, au moyen du § XVI, 6, les déterminants du quatrième degré auxcjuels on parvient, ce qui donne
(I) BCDE-f-CDEA-hDEAB-hEABC-f-ABCD=TO,
équation qui coïncide avec l'équation connue que Ton rencontre au § XVI, 7. En exprimant les volumes de chacun des tétraèdres en fonction de leurs arêtes {§ XVII, 14, corollaire I), on obtient une équation irrationnelle, dont le second membre est zéro, et dont le premier membre est la somme des racines carrées de cinq déterminants du cinquième degré. Pour rendre cette équation rationnelle, il n'est pas nécessaire de faire le produit des différentes valeurs que peut prendre le premier membre, en vertu de l'ambiguïté des radicaux carrés. Il suffit, ce qui est préférable, de multiplier l'équation (I) par un de ses termes, parce que le produit de deux tétraèdres est une fonction rationnelle des carrés des droites qui joignent les sommets de l'un des tétraèdres avec les sommets de l'autre (§ XVII, 14). L équation cherclice a été développée pour la première fois sous une forme plus simple par Cayley [Canibr. Math. /., Il, p. 268). Par analogie avec la méthode donner
APPLICATIONS DES DÉTERMIJVAINTS. ^ÛO
au II" 9, Cayley a multiplié le déterminant plus général
par
1, -Ï^S -f-j's + 2^ + Wj, ^5, Jà, S
On trouve ainsi (§ \I, I?)
— i6K- = OÙ l'on a /iA,, = A*,, (§ VI, Î2), et de plus
//„(, = o, //oi = I , //o2 = I , • • • , ''«(1.'. = I ,
h,,:= /h-,= ■ ■ ■ = fin = 0,
A,, = .r,^ +v- -+-C- 4-"', -f-'^I+j' -i-2^4-«î— 2^-, u:, — 2/, jj
2C| Z2 — 2i/| Wo
etc.. . .
Si les quantités indéterminées i/j , z/g,..., u^ sont nulles, R s'annule pareillement (§ III, 2). Si l'on considère en même temps Xi, /i , Zi comme les coordonnées' rectangulaires du point A, etc. . . . , on a //jj = AB% etc. . . . En désignant les carrés des distances du i®' point au 2% au 3", ... , comme ( i-dcssus, par d^^, r/j,. . . , on a lé-
y.34 SECONDE PAUTIE, § XV III .
quation cherchée,
ri.
di,
dn
dn
du
dn,
dr.
On peut développer ce déterminant d'après le § V, 2, ou simplement d'après le § III, 1 . Dans ce dernier cas on trouve
^01 + ^(,2 + lîo3 + <îo4 + ^05 = O,
en désignant par à^^, d'os, • • • les coefficients qui multiplient dans le déterminant les éléments de la première ligne horizontale. Mais on a, dans le cas d'une notation analogue
