PREMIERE PARTIE, § IV
Tordre ascendant) de a, j3, y,. . . indices, et permutant les indices dans chacun de ces groupes. Si Ton effectue le groupement de toutes les manières possibles, et que Ton permute chaque fois les indices dans les divers groupes , on obtient toutes les permutations des seconds indices donnés. La somme de tous les produits ABC. . . comprend, par conséquent tous les termes du déterminant donné.
Le déterminant A peut être composé de
manières différentes, puisque c'est là le nombre des combinaisons de n indices pris aka* Pour chaque déterminant A,
OL
on peut former 1 j déterminants B différents , puis-
que c'est là le nombre des combinaisons |3 à j3 des n — a indices restants. Pour chaque produit AB, on peut former
déterminants C différents, et ainsi de suite.
Par conséquent, on peut en général former
n\ tn — a\ in — a — p\ 1.2... /z
produits ABC. . . , dont la somme compose le déterminant donné. On retrouve, en effet, le nombre des termes du déterminant (i .2. . .n), en multipliant le nombre des produits ABC. . . par le nombre des termes d'un tel produit
FXEMPLE :
a Ox «2 Û3
b. bx bi hi
b bx
Ci f 3
d^ rf 3
dx d^
Cx C,
dxd.
c c, Cl c^ d dx di d^
bx bj
dd.
(Ix «.,
dd.
h. bi
c c, ddx
La décomposition d'un déterminant du n'^'"* degré en une somme de produits formés chacun d'un déterminant du 2° degré et d'un déterminant dn(n — 2 )'*""' degré se trouve traitée avec développement par Jacobi (Det,^ 9 et 10).
2. Lorsque les éléments du système donné, qui ont i lignes verticales et « — i* lignes horizontales communes, s'annulent, le déterminant se réduit au produit d'un déterminant de degré i par un déterminant de degré n — i [*)
ûfi,i • • • f^\,i
Si Ton partage en effet le déterminant donné en une somme de produits de déterminants du z'^'"* et du( n — i) '^'"' degré, en réunî^sanlfe dans un même groupe les n — 1 lignes horizontales désignées dans Thypothèse, et dans un autre groupe les î lignes horizontales restantes , parmi les déterminants de degré n — z que l'on aura à former, un seul sera différent de zéro.
