THÉORIE

Par conséquent

Os,r Os,s . •

est la forme générale d'un des termes du développement cherché, qui contiennent z"". En remplaçant les indices z, Xr, . . . par toutes les combinaisons possibles m k m des nombres de la suite i, 2,. . . , /i, et par suite r, j, . . . par toutes les combinaisons possibles n — mkn — m des mêmes nombres, on obtiendra tous les termes àef(z) qui contiennent z"" en facteur.

§ V. — Des déterminants ordonnés suit^ant les produits des éléments de deux lignes qui se coupent,

1. Théorème. — En désignant par R le déterminant S ±: aj^i «9^9. . . a„^„, par R' le coefficient de l'élément a^^^ dans R, et par a^-^t le coefficient de l'élément ai^i dans R', on a

R = ûrr,,R'' — 2 ar,k Oi,s <^i,k- On obtient les différents termes de la somme en faisant (*)

A" — — I. 2,»«-y s """ I , s -^ If.»., Tl »

Démonstration, — Les terme* du déterminant R contiennent ou bien l'élément fl^,,, ou bien le produit de deux éléments appartenant aux lignes qui se coupent suivant a^^s 5 par exemple, le produit «^^^ «;,,, k désignant un indice quelconque différent de 5, et i un indice différent de r. La

{*) Cauchy a donné un cas particulier de cette formule {Journal de l'École Polytechnique, XVII* cahier, P- 69).