PREMIÈRE PARTIE, § V

soniiue des termes de R qui contiennent a^^, est par hypothèse a^^s R'- Le coeflScient du produit a,.^^ a,,., dans R est d'ailleurs égal et de signe contraire au coefficient de a^^^ ^i,ii dans R (§ ni, 7), et par conséquent égal et de signe contraire au coefficient de a^^i dans R'. Donc — ai^j^ est le coefficient de a^^i Oi^s dans R.

Corollaire. — D'après les notations précédentes, le coefficient de Félément a^^j dans R est

De même, le coefficient de a,^, dans R est

2. Si le système des éléments donnés est symétrique, de sorte qu'on ait a^j, = û,^, et que R' soit le coefficient de l'élément a^,,. dans R, et oL^^f, le coefficient de l'élément a,,i dans R', on trouve (i)

R = ar,r ï^' ~~ ]2d ^'■•' ^'^ *'**

Les termes de la somme répondant à des valeurs inégales de i et de A-, sont, dans ce cas, égaux deux à deux, puisque au = «.-.A (§111, 8).

Exemples :

:=:aa,a^ — ab\^ —a^b\^ — a^b\^-^ ib^xb^^by:,.

a b^xb^bbi b^iOi b^bt»

'-'bl,{a,a,— bl,) — bl^{a,a,-^b^,) — bl^{a,a,

+ 2^oi^oa(«3^n — ^13^23) + 2^01^03(^2^13 — ^12^23}

=:a^a] -^b^b] -f-c'cj — 2oû, ô^, — 2iïfl,cc, = (flfl,-f- bbi — cCiY — ^aaibbt

THÉOKIE DES DÉTEKMtNAntS.

Comme cas particuliers , on a

a o c = zobc.

b c o o a b c a o Cx bi b Ci o ai c bi OiO

^^{sfaâx'^-slbb, H- ^cc,) (v/âôi + sfbby — sj^x)

X [sfââ,'- s[bb,-\- v/cci) (— y^^, -h yfbb,

1 oc b = fl' + A' + c' — 7.ab — ibc — 7,ac \ c o a z=[a-\-b — c)' — ^ab 1 b a o

= ^[^^^b-hsfc){)/â-+-^b — \/c) {)/â — sjl

§ VI. — Des produits de déterminants.

2^^, ce,

si ce, ) .

fc)

1 . Théorème. — Formons, avec deux systèmes donnes d'éléments ,

et

un troisième système d'éléments ,

de telle sorte que le X'*'"* élément Ci^j, de la i'^"*' ligne horizontale s'obtienne en multipliant les éléments de la i'^""