PREMIÈRE PARTIE, § \I

ligne horizontale du premier système

respectivement par les éléments de la A'^'"* ligne horizontale du second système

et faisant la somme des produits , ce qui donne

Ci,k = «/,i ^k,x -h Oi,7 ^*,2 -h . . . -h ai,p hk,p' Désignons par R le déterminant de ce système

Formons , au moyen d'une combinaison de n lignes verticales quelconques du premier système, le déterminant P, et au moyen de P, par le changement de a en i , le déterminant Q, dont les éléments appartiennent au second système. En formant la somme de tous les produits PQ possibles , on a

Quand ^ =. /i , 1\ se réduit au produit unique PQ. Quand p <^ w , R est identiquement nul (*).

Démonstration. — En faisant prendre à chacun des indices indéterminés r, 5, t,... successivement les valeurs I, 2, . . . ,p, alors, par hypothèse, le terme principal du déterminant sera

r,Sjtjm.

(*) BiNET et Caccht (dans des Mémoires publiés en même temps, Journal de l'École Polytechnique, XVI« cahier, p. 286, et XV!I« cahier, p. 81 et 107), ont déduit cette proposition de la considération des cas particuliers ,

THÉORIE DES DÉTERMFWAWTS , 87

De là on déduit les autres termes de R, en permutant les seconds indices des éléments c, les premiers indices demeurant immobiles. Or, dans cette opération, les premiers indices des éléments b sont seuls permutés sous le signe sommatoire, tous les autres indicés n'éprouvant aucun changement. Par conséquent on a

Le déterminant Q s'annule lorsque deux des indices r, 5, f , . . . sont égaux entre eux (§ II, 4). On obtient donc tous les termes de la somme à former, en remplaçant r 5 , f > . . . , par tous les systèmes de valeurs de n indices différents pris dans la suite i , 2 , . . .p.

Si l'on a maintenant p <^ n, alors R = o. Car, parmi les indices r, ^, f , . . . , dont les valeurs doivent être prises dans la suite i, 2, . . . , /?, et qui sont au nombre de tî , il faut qu'il y en ait quelques-uns égaux entre eux -, par conséquent, pour toutes les déterminations possibles de r, 5, ï, . . . , on aura identiquement

Si/7 = /î, alors on ne peut prendre, pour système de valeurs des indices r, 5, f, . . . , que les diverses permutations de I, 2, . . . , /}, parce que, pour tout autre système de valeurs, Q serait identiquement nul. Or, par la permutation des indices r, 5, f , . . . , Q se changera soit en Q, soit en — Q (§11, 4)^ par conséquent, la somme désignée par R

qu^avaient donnés Lagrange (Mémoires de l'Académie* de Berlin, 1773, p. 285) et G Auss {Dis^ui s. ariihm., 157, 169, 268, 1). Voir Jacodi, Det.» i3 et i'|.