PREMIERE PARTIE, § VI
contient tousles termes du déterminant ^Sdia^^i ^2,ï»»-«n,n9 multipliés parle facteur Q; c'est-à-dire que Ton a
Si p^n y on peut prendre d'abord pour systèmes de valeurs des indices r, 5, ^^ . . . , toutes les combinaisons n k n
des nombres i, a,.-. ., p. On trouve sinsi I " ) termes de
la somme cherchée, d'où Ton peut déduire tous les autres en remplaçant chaque combinaison r, j, f, . . . par ses diverses permutations. D'après les remarques qu'on a faites
pour le cas des p-==.n^ chacun des I ^ ) termes, joint à
ceux que l'on en déduit, forme le produit de deux déterminants PQ. On a donc
Pl.r ^i,s ^i,t' ' • ^3,r ^3,* ^Z,t' • •
où l'on prendra pour les systèmes de valeurs r, 5 , f , . . . , toutes les combinaisons n k n des nombres de la suite
Exemple. — En posant
Ci,k = «1,1 bk,l -+- fli,2 bft,2 H- ûf,.3 ^*,3 ,
on a
THÉOHIE DES DÉTERMINANTS.
et
2. Si 5 en particulier, les éléments b sont respectivement égaux aux éléments a marqués des mêmes indices , alors le système des éléments c est symétrique; c'est-à-dire qu'on a
Ci,k = Ck,i = «/., «/,, + «,-,î flA,2 H- ... H- «,> «*.„ ,
et par suite
en prenant successivement pour systèmes de valeurs de r, Sj ty... toutes les combinaisons «an des nombres I5 2, . . . , y?', et faisant la somme des résultats.
Tant que le^ éléments a sont réels, le déterminant
\^=ii Ci^i Cj^j. . .c„,„ est positif, et ne peut s'annuler que si
le déterminant
4o PREMIÈRE PARTIE, § VI.
est nul pour toutes les combinaisons r, 5, /, . . . ^(*). Le cas particulier
avait déjà été trouvé par Lagrange (Sur les Pyramides y 3).
3. Ije produit de deitx déterminants P et (^de degré n est un déterminant R de même degré , que l'on peut écrire sons quatre formes, en général différentes entre elles (**), en composant cbacun de leurs éléments soit avec une ligne horizontale de P et une ligne horizontale de Q, soit avec une ligne horizontale de P et une ligne verticale de Q, soit avec une ligne verticale de P et une ligne horizontale de Q , soit enfin avec une ligne verticale de P et une ligne verticale de Q. Si Ton pose, eh effet ,
^n,\ • • " Ofi^n
on a, d'après le théorème \ ,
