VI PRÉFACE

Mais, sauf la lettre à THospital du a8 avril lôgS, où Leibniz parle avec conviction de la fécondité de son idée, on ne connaît aucun autre passage d'où l'on puisse conclure que Leibniz ait cherché à tirer de nouveaux fruits de cette découverte. La seconde invention des déterminants par Cramer, 1760, ne s'est pas perdue, à cause des services qu'elle a rendus aux progrès de l'Algèbre, grâce aux travaux de Cramer lui-même, et quelques années plus tard à ceux des Bezout, des Laplace, des Vandermonde, des Lagrange. C est Vandermonde (Sur [élimination, 1772) qui a cherché à créer un algorithme des déterminants, tandis que Lagrange, dans son Mémoire classique Sur les pjrramides, 1773, faisait déjà un usage très-étendu des déterminants du troisième degré dans les problèmes de géométrie analytique. Mais ce qui a le plus contribué au perfectionnement et à l'extension du calcul au moyen des déterminants, ce sont \esDisquisitiones arithmeticœ de Gauss, 1801. En partant de la considération des algorithmes qui se rapportent, dans cet ouvrage, aux a déterminants des formes quadratiques, » Binetet Cauchy, iSia, ont établi des règles générales, pour la multiplication des déterminants, et ])ar là certains calculs sur des sommes difficiles à manier onr acquis une faciUté inattendue. Jacobi, avec son génie créateur, s'empara en i8a6 de ce nouveau calcul, don! jusque-là les dcveloppemenis étaient dus

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surtout à Cauchy. Les travaux qu'il a publiés dans le Journal de Crelle sont des preuves éclatantes de la puissance de ce nouvel instrument dans la main d'un tel maître. C'est par les Mémoires de Jacobi De formatione et proprietatibus determinantium et De determinantibus fiinctionalibus, i84i, que les déterminants sont devenus pour la première fois accessibles à tous les mathématiciens, et, depuis, leur théorie a reçu de divers côtés des accroissements importants.

Le Mémoire de Jacobi De formatione, etc,^ qui n'a pas été rédigé pour l'usage immédiat de ceux qui commencent cette étude, et le traité de Spottiswoode intitulé : Elementary theorems relating io déterminants j London, i85i, et dans lequel, à côté d'un ordre convenable des matières et d'un bon choix d'exemples, on rencontre un grand nombre de négligences et même d'erreurs qui diminuent la valeur de l'ouvrage : tels étaient les seuls moyens que l'on eût pour arriver à la connaissance des déterminants, lorsque je me décidai à rassembler les matériaux, encore dispersés pour la plupart, pour en composer une théorie des déterminants, suivie de leurs plus importantes applications. Mon travail était presque terminé, .lorsque j'ai eu connaissance de l'ouvrage de Brioschi, intitulé: La teorica dei detetminanti , Pavia, i854. Ce traité, appelé par le besoin généralement senti d'une introduction élémentaire à la connaissance des

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déterminants, bien qu'il ne soit pas toujours rigoureux dans les principes, est cependant écrit avec une parfaite connaissance du sujet, et contient un riche trésor d'excellents matériaux. Aussi cet ouvrage s'estil promptement répandu et fait apprécier. La traduction allemande de ce livre estimable, publiée tout récemment à Berlin, a été sans doute très-bien aœueillie des mathématiciens d'Allemagne, et si j'ai eu le courage d achever mon Traité sur le même sujet, cela tient principalement à ce qu'il diffère de celui de Brioschi par le plan et par l'exécution. Pour mettre à découvert dans sa plus grande simplicité le noyau théorique de cette doctrine, j'ai exposé les principales propriétés des déterminants et les algorithmes auxquels elles servent de base, dans un traité rédigé avec la rigueur synthétique, telle qu'on la rencontre dans les ouvrages des géomètres de l'antiquité, et lorsque cela m'a paru nécessaire, j'ai éclairci les principes par des exemples simples. Pour comprendre avec clarté les propositions d'un système , il ne peut être qu'avantageux d'avoir toujours présent^ auprès de chaque théorème, l'ensemble des prémisses sur lesquelles il repose. Quant aux applications à l'Algèbre, à l'Analyse et à la (Géométrie, je les ai réunies dans une section spéciale, pour en rendre l'inteiligence plus facile en donnant aux sujets une plus grande liaison, et pour parvenir en même temps à