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en supposant que Ton prenne
Ci,k = «1,1 *X.i -t- «,,2 ^*,2 -f- . ... + ûi^n hk,n'
(*) Jacobi, De«., i3.
(**) Cafchy, loc. cit., p. 83.
jy^ -^zz^
THÉORIE DES DÉTERMINAlTTS.
On a par conséquent
D'après la règle de formation que nous venons de donner,
on a encore
^I,«« • • *^ntn
Hj»
«1,1 ^1,1 -h- • .-+-«n,i^i,n,. . . , «l,l^n,l + • • • "4- ««,1 ^n,fî
«I,n^i,i4-. . . -f-«ii^n^i,/,7 • • •> «l.n^n,lH- • • • + «n,ii ^n,n
«l,C^I,l4-. . .4-«i,nÔi,„, . . . , «i,t^n,l4-. • .-t-«Mi^/i,/ï
Les déterminants qui entrent comme facteurs dans les
4 2 PBJBMIÈHE PARTIE, § VI.
premiers membres de ces égalités, ue sont autre chose que P et Q (§ II, 3). Donc les déterminants qui forment les seconds membres ne diftirent point de R, c'està-dire qu'on a
ÛTi,! . . . fl'i.n
Ci^i désignant F une quelconque des quatre sommes
Oi,ibk,i-\-a2,ibk,'i-{- . . • -h «n,i ^*.« »
^1,1 bi,k -+- «2,1 ^2> -f- . . . -h Cln.i bn.h
4. Le produit <ï autant de déterminants quon voudra est un déterminant dont le degré ne surpasse pas le plus élevé des degrés donnés, et dont les éléments sont des fonctions rationnelles et entières des éléments donnés ('*'). En effet, .si les degrés des déterminantsdonnés ne surpassent pas le n"""^ on pourra mettre tous les déterminants sous la forme de déterminants du n*'"*' degré, et alors, d'après la règle (3), multiplier le premier par le second, le produit par le troisième , et ainsi de suite.
Diaprés le § II, 6, on a
Om,\ -a
llt,1H
««, I • • • «rt.i
si chacun des éléments ai^i , pour i^ m^ est égal à zéro ou à l'unité, selon que /r^z, les autres éléments non donnés
(*) Jacobi^ Det., \'6.
THÉOBIE DKS BÉTERMiKAlfTS.
restant indéterminés. On a par suite
en supposant
Ci,k = «/,i ^*,i -♦- «i,î ^#,5 -h ... H- «,-,11 bi,n' De cette somme il ne reste, pour i'^m^ que les termes
bkj + «i,n-i bk,i+i -+-... -f- «i,n ^*,n.
Si les éléments indéterminés sont tous nuls, on a
Ci.k = «1,1 bk,i 4- «,,1 ^A,a -h ... -H fl|,«, Ô*,« ,
ce qui, pour i^m, se réduit à bj^^^ seulement. Exemple :
«, bx c, rf,
flj ^j ^2 £?2
