Théorème. — Soient

~ 2±«.,|«2,2. . «li.ll, R ^^^^ ^^ ^31 <^i,i C'a, 2. . .^«,n,

en supposant

de sorte que PQ = R(1)^ soient de plus «„;t,|S,^;i,j/,^jt les coefficients de ^?i,o^i,ii»^V,* respectivement dans P,Q,R:

44 PREMIÈKE PARTIE , § VI.

on aura

7/,*= «1,1 P*.i H- a/,2 P*,2-l-- • --ha/.» ?*,«>

ei si en particulier bi^j, = Gi^j, ,

7/ ,• = a. . -ha. -+-. . .-f- a. (*).

Démonstration, — Le coefficient de a/,^ dans PQ est, d'après ce qu'on a supposé, ai>Q. Comme on a de plus

(§in,i)

= ^ («iM ^i,i -+- «1,2 ^/,a -H ... H- «/,„ é,,„) 7/,, , s

il s'ensuit que "V b^^ryi,s est le coefficient de a,^^ dans R. Or on a PQ = R \ par conséquent

La somme ^ i^^^pi^^, dont les termes répondent aux va-

leurs r = 1 , 2 , . . . , n , s'annule toutes les fois que s est différent de A, et a pour valeur Q lorsque 5 = A (§ III, 1). Il ne reste donc, de la somme totale, que le terme 7,,*Q,

(*) Cauchy, loc. cit. y p. 90. — Comp. Joacbimsthal, Journal de Crellc, t, XT-, p. /|(). Ce théorème est renfermé dans le théorème général (1 ).

de sorte que

THÉORIE DES DÉTERMIMÀNTS.

^(Xi,r^k,r = yi,k.

Exemple. — Si Ton a

abc

fl, b^ c,

G 2 bi Ci

en vertu des équations

==«/ -+- bm -+-c«,

si de plus on désigne les coefficients de « , è, ...,/, m, ... , r,s^... dans les divers déterminants par les lettres grecques correspondantes, on a, d'après le théorème qu'on vient de démontrer,

T2 — aj >2 -h pa P2 -+- 72 Va ;

par conséquent

a l-\- b m-^ c fiy a II'}' b rni-hc n^ Oil A- b^ m-hCifi, a^ly-^-by w, 4- c, «,

Dans le cas particulier où le second système est identique avec le premier, on a Tidentilé suivante, qui est d'un fréquent usage (*) :

{à^^b'^c^){a\-^b\^c\) — {aa,^bb,^cc,)-^ :=(bc, — b.c)- 4- {ca, — e,ay -4- [ab, — a,b)K

(*) IjkG^KTiGEy Sur les Pyramides, i.