PREMIÈRE PARTIE, § VII

§ Vn. — Des déterminants de systèmes adjoints.

1, En désignant par ai^j, le coeflScient de ai^j, dans le déterminant

Rrz:

le système des éléments

est dit adjoint (*) slm système des éléments a.

Théorème . — Le déterminant du système d'éléments adjoint à un système donné de n* éléments est égal à la (n — 1)«^'«« puissance du déterminant du système donné (**).

Démonstration, — En multipliant

Ot|,t . . . Ct\,n

par R, on obtient (§VI,'3)

^t,l • • • ^l,rt

{*) Caught, loc, cit., p. 64> a emprunté cette dénomination à la théorie des formes quadratiques (^Disquis. ariihm., 267 ).

(**) CauchY) loc. cit., p. 82. Le cas de n = 3 se trouve chez Lagrange {Sur les Pjrr., 5) et chez Gauss, loc. cit.

THÉORIE DES DéTERMINÂlTTS. 4?

en prenant

Ci,k = «i.l «*,l -+- «i.a <2*,2 -h • • • 4- Oti,n^k,n»

Ces éléments c ont la valeur R ou la valeur o , suivant que î et h sont égaux ou inégaux (§ III, 1). Leur déterminant se réduit donc h son terme principal

^1,1 ^J,7« • • Cm,„ Iv

(§11,7). On a donc

Ai^t ... â

2. Théorème. — Un déterminant partiel de degré m du système adjoint est le produit de R"*~^ par le coefficient qui multiplie dans R le déterminant partiel correspondant du système primitif (*).

Démonstration. — Soient

des permutations données de i, a, ..., /i, et supposons que /, g, . . . , et z, Ar, . . . désignent des groupes de m indices, les » — m indices restants étant désignés par r, 5, . . . , et par m, j^, . . . . Le déterminant de degré m

{*) Jacobi, Det,, II. La multiplication par R du déterminant cherché, employée dans cette démonstration, a été indiquée par Borchardt.