PREMIÈRE PARTIE, § VII

sera ua déterminant parti'ei du système adjoint (§ IV, 3). Or on a, d'après les hypothèses admises,

e ayant pour valeur -H i ou — i, selon que les permutations données appartiennent ou n'appartiennent pas à la même classe (§ II, 4). Pour multiplier le déterminant partiel cherché par e R, on peut le mettre (§ VI, 4) sous

la forme

br,i Or,k» • • Or,u ^r,f • • • às,i àg^k' ' • Os,u àg^ç, . .

les éléments b ayant pour valeur i ou o, suivant qu ils se trouvent ou ne se trouvent pas sur la diagonale. Le produit des deux déterminants est le déterminant d'un système d'éléments c, parmi lesquels Ci,,, Cj,i,. . ., c„,„ ont pour valeur R, tandis que les autres éléments des m premières lignes horizontales sont nuls (§ III, 1). Les (m -+-i )'*'"', (/7i -f- 2 )'*"**,.. . lignes horizontales sont respectivement égales aux (m -h i )'*'"'' , (m-+- 2)'^"**,. . . lignes verticales dans sR. Or ce déterminant se réduit (§ IV, 2) au produit de deux déterminants, dont le premier a pour valeur R"* (§ II, 7) ^ le second est

THÉORIE DES DÉTERMINAUTS.

On a par conséquent

D'après le § IV, 3,

représente le coefficient qui multiplie, dans R, le déterminant partiel

du système donné, dont les éléments sont affectés des mêmes indices que ceux du déterminant cherché.

Exemples. — Si l'on suppose

on a

Ûfl.f • • «I,*

De même,

ût|,i ... a

l>ai

ûf«i,l • • • *«,«

^M-i-i,in+i • • • ^m-hi,n

(*) Jagobi, loe. cii.