PREMIÈRE PARTIE, § VII

En particulier, pour n = 5, on a

«ai «a» o^u

ûijflu

«3J «li

parce que les permutations

n'appartiennent pas à la même classe.

On a, au contraire,

parce que

sont des permutations de la même classe.

3. Le coefficient de Télément a/ 1 , dans le déterminant des éléments adjoints

est

Car ce coefficient est un déterminant partiel du système adjoint, du (n — i)''™" degré, et le coefficient qui multiplie dans R le déterminant partiel correspondant du système primitif, esto,-,ji, comme on le voit immédiatement. Si, en particulier, n = 3, on a

=:Ra3, , etc. (*).

«Il «12

(*) LacrangB; Sur les Vrr., 3.

THÉORIE DES DÉTERMINANTS. 5l

4-. En général, pour calculer un déterminant partiel du second degré dans le système adjoint, par exemple,

on a besoin du coefficient qui multiplie, dans R, le déterminant correspondant

Ce coefficient n'est autre que celill qui multiplie, dans ft^ le produit af^i ag^^ (§ IV, 3), Par conséquent, on a

rf'R

clafj dag^k

On a de même

rf^'R

dofi dag^k dh,i

Ctf,i Clf,k QLfJ

«?>'• «ff»* ««->' = R'

et ainsi de suite.

Ces identités font connaître en même temps comment les quotients différentiels du second, du troisième,..., ordre d'un déterminant peuvent s'exprimer au moyen des quotients différentiels partiels du premier ordre de ce déterminant.

5. Lorsque R est identiquement nul, il en est de même des déterminants partiels du système adjoint du 2*^, du 3^,. . . degré, puisqu'ils contiennent R en facteur (a). De l'identité

(*) Jacobi, Det.y m.

5a PREMIÈBE PARTIE,. § VITI.

résultent les proportions

a/,i I a/,1 I «As I • • • = *^,i • ^g,i ' «^.s : . . . , «1,1 ' «»,! • «3,1 : . . = oti^k I «2,* I «3,* I • • • ( )•

Si, en particulier, les éléments du système donné sont tels, que Ton ait a^^i = db a^-^i, alors, dans l'hypothèse de R identiquement nul, on a aussi

-no,-,* aA,4

et par suite

Delà résulte la proportion

ce qui fait voir, d'une part, que les rapports

sont indépendants de /, et d'autre part que le signe de Tun de ces radicaux détermine les signes de tous les autres.

§ VIII. — Du déterminant dun système dans lequel les éléments correspondants Ui^i et aj^^i sont égaux et de signes contraires ( ** ) .