L'intégration de l'équation linéaire de l'ordre

(0 a = «074-^1/4-. . .-hû^Jr^"^

a, ^ok â(] , . . . , étant indépendants dey, j^', . . . , se réduit à l'intégration d'une équation linéaire de Tordre n — w, lorsque l'on connaît m intégrales particulières de Téqua-

( * ) Abel (tournai de Crelle, t. Il, p. 22) a établi cette relation poar n = j. La formule générale a été attribuée à Liouville par Tissât [Journal de Liouville, t. XVI!, p. 1 78).

APPLICATIONS DES DÉTERMINANTS» yi

tion diflérentielle linéaire plus simple de Tordre n,

Lagrange {Miscètl. Taur,^ t. III, p. 179) a énoncé ce théorème en 1764, el a montré la possibilité de la réduction. Cette réduction a été traitée par d'Alembert [loc. cit,y p. 38 1) dans une note très-courte, et la méthode exposée dans cette note est identique au fond avec celle du Mémoire de Librisur le même sujet [Journal de Crelle^ t.X, p. i85). Après que Malmstén [Journal de Crellèy t. XXXIX, p. 91) eut fait voir, à l'aide dés déterminants, cotnment Tintégrale générale de l'équation (2) peut se déduire de n — i intégrales particulières de cette équation, Joachimsthal a traité aussi [Journal de Crelle^ t. XL, p. 48) la réduction de l'équation différentielle linéaire plus générale (i) d'une manière an&Iogue, au moyen de m intégrales particulières données de l'équation (2). La méthode employée pour cet objet avait déjà été en grande partie indiquée par La^ grange, qui, dans un Mémoire postérieur [Mémoires de Berlin^ iyy5^ p. 190), a représenté l'intégrale générale de l'équation (i) au moyen de n intégrales particulières de l'équation (2).

En désignant par y une fonction de x, et par Xif y^f ' ' 9 y m les intégrales particulières données de l'équation (2), on peut déterminer un pareil nombre de fonctions de x^ que nous désignerons par ii , is» • • •> ^m» par la résolution d'une équation différentielle linéaire générale d'ordre n — m, et par m quadratures, de telle sorte que

soit l'intégrale générale de l'équation (i). En effet, en posant

on a

en posant

^l^ljl -h; • • + ^iii,l/m =0,

jVIais, d'après les conditions que l^pn a ppsées, les rapports

^nt déjà déterminés (§ IX, 3) -, on a de pluç

en posant *

^1,1 Ji,m-i -f- . . • H- ^m,i„^«,jii-i = 2,

qui est une fonction déterminée de x. On a de même

en posant

dz

puis

en posant

etc. \ et enfin

"r" 2r— lin— t , I 4" 2/1— « }

en posant

APPLICATIONS DES DETERJ^IINASTS.

En multipliant ces équations respectivement par a^y a^y . , , , et, ajoutant les prod^its, on trouve, en vertu des suppositions faites sur y, , ys, . . . , j^m»

a = <2„z -h fl«^j z' -h ct„+2 z" -4- . . . -h /7„ sC- '")

poui* la condition en v^rtu de laquelle

:sera une intégrale de Téquation (i).

Or, en résolvant le systèmie d'équations

^mJi -f- . .-4- ^fl,,ir« =o,

on trouve

en po3ant

et désignant par

Rbi

jr.,.

*ymA

Jl,!»-

-t jî.

'ym,m—i

rfR-

4ri,«-i

le coefficient de y,,,„-i dans R,». Les fonctions i, , i, , . . , , è,^ seront ainsi déterminées par des quadratures, après que l'on aura trouvé z. Pour débarrasser maintenant des quantités ft, , ^2,... l'équation qui détermine 2, remarquons que

74 SECONDE PAKTIE, § X.

l'on à

2i = *i.i yx,M -h ... -4- ^«,, 7„,«

22 ^M Jl,«+i -h . . . -f- A„,i J^„,

(«i,«-l J^l,»-l-l -*-... -h >ïfl.,«-i /i»,«-Hi ) — = CjZ,

An

, Cl, c,,..., c„„ étant, par suite, des fonctions' donfaées de X. On en tire par différentiation, en se Servant d'une notation analogue ,

Zi,2 = Ci,2Z H- nci^t z* -h r/z",

2i,3 = Q,3 z -+. 3 c/,2 z' -h 3 r,-, , z" 4- Cf z'", etc

On a par conséquent

-4- ^/iH-i j c^z -h z' I

cx.zz -+-3c,,.,z'-+- 3c,,, z" -hc.z"' 4- 2'^

-f- C^^^Z -4- TjZ'

APPLICATIONS DES DÉTERMIMAWTS. ^5

pour r équation linéaire d'ordre n — m k laquelle doit satisfaire la fonction z. Ayant trouvé la valeur de 3, on peut calculer ensuite , par son moyen , les fonctions &i , &t 9 • • • , i„, de telle sorte que

soit une intégrale de Téquation (i). Les intégrales particulières JK*!» JK*)' • *) J'ff^ élant supposées habituellement ne contenir aucune constante indéterminée, comme d'ailleurs rintégrale générale z de Téquation linéaire d'ordre n — m que l'on vient de trouver, renferme n — m constantes arbitraires, et que les quadratures, dans le calcul de^i, i^s,.*.,^m9 introduisent m autres constantes arbitraires : l'intégrale trouvée pour l'équation (i) contiendra le nombre voulu de constantes arbitraires , et ce sera par conséquent l'intégrale générale de l'équation (i).

4. L'équation différentielle linéaire qu'il reste à résoudre pour l'intégration de l'équation différentielle donnée , n'est pas résoluble en général, lorsqu'elle dépasse le premier ordre. Il y a donc à considérer en particulier les cas où l'on am=:«etm = /i — i.

Pour m 2= ;» ^ on a

a =anZ, tfi^i K„ = — îfj,- „, , Oi= I — f/,Ty

^n J fin R/i

et par suite l'intégrale générale de l'équation (i) est

comme Lagrange et Joachimsthal l'ont remarqué (/. c). Pour ni = n — i , on a

y 6 SECONDE PARTIE, § X-

Orona{§IlI, 10) par conséquent

a R„, = «„, B„,3 -h rt„

dx

Pour la résolution de cette équation , on a besoin d'une intégrale j)articulière ii, de l'équation

savoir,

J On W, = «? .

En représentant Timégrale générale qu'il faut d'abord chercher, par

ce qui donne, d'après la notation admise ,

on a , à cause de a„, u^ -|- a„ w,^| = o (par hypothèse)^

/ïR„, = fl„tt,p,.,, p,

avec une constante arbitraire. On a enfin, pour déterminer bi ,

^/ == / ïr~2 ^i' n-2 ^*^>

chacune de ces quantités ainenant avec elle une constante arbitraire , de sorte que

est Fin tégrale générale de Féquation (i), comme Fa remar^ que Joachimsthal (/. c). Le cas particulier de rt = o, pour lequel ^i lui-iaème se change en ime constante arbitraire, avait été déjà semblablement traité par Malmstén (/. c,)^

§ XL — Bfisuhante de deux équations algébriques.