Soient

Les deux équations

données pour la détermination de x^ seront compatibles si une racine au moins de la première équation coïncide avec une racine de la seconde. En désignant les racines de la première équation par «i , a^ , . . . , a,„ , et les racines de la seconde équation par |3i , jSg , . . . , {3„ ^ en désignant , de plus,

par TT (a, — P^) le produit de toutes les différences entre

les racines de la première équation et les racines de la seconde , lesquelles différences se forment de a, — jS* , en faisant successivement i = i, a, . . . , m, et A: = i, 2,. . . , n, alors

sera la condition nécessaire et suffisante pour la compati-

y 8 SECONDE PABTIB, § XI.

bilité des équations données (*)\ et 3 appellera la résul-* tante de ces équations (§ IX, 3).

2. Si les racines «i, a^, . • . , «^ , ainsi que j3i, ps 9 • • • 9 P» 9 sont toutes différentes entre elles, le produit TT (a. -^ ^a)

sera une fonction rationnelle et entière, du degré m, des quantités

et aussi une fonction rationnelle et entière, du degré n , des quantités

et par suite aussi une fonction rationnelle , entière et symétrique des racines de f (a:) = o, ainsi que des racines de /(x) = o, et Ion sait que cette fonction peut se transformer en une fonction rationnelle et entière des coefficients de/(x) etdeç {x) (**). Car, de Tidentité

on tire

(a,- p.) («,— p.). ..(«,- p.) = t^, et par suite

IX (*' — P*) =7^ ? M ?(«')•• • ?(am).

(*) EiLER, Histoire de l'Académie de Berlin, 1748, p. 234.

(**) El LER, /oc. CI/.

APPLICATIONS DES DtTEKMINANTS. 79

On a de mènie

f[(a,Pi)=^=lJ^/(p,)/(p,).../{M.

d'où résultent immédiatement les propositions énoncées cidessus.