Au lieu de développa le produit TT (a, — 13#) en une
suite de fonctions rationnelles, entières et symétriques des racines de Tune dçs equ^ations données, et d*expri];Qer ces foi^ctipns au mpyea des coefficients de cette même équation, on peut parvenir plus simplement à la i:ésul tante des équations données, en éliminant Tinconnue x entre ces équations.
L^équation R = o , obtenue par Téliminalion de x entre f (x) = o et y [x) = o , est la résultante de ces équations (œquatiofinalis genuina), lorsque R est une fonction rationnelle et entière, du degré m, des quantités indépendantes entre elles
On Ou Du
et une fonction rationnelle et entière, du degré n, des quantités indépendantes entre elles
(*) EuLVR, loe. cit. — Voir Cauchy, Exercices d'Analyse^ 1840, p. 400.
8o SECONDE PARTIE, § XI.
Car, pour chaque système de Valeurs des coefficients ao , aij, . . ., 8*7 *!»• • .,'^^îsant évanouirJT (a, — j3i),y*(x) = o
et (f (x) = o om une racine commune a^ , dont Félîmination entre les équations y(a^) = o et ç (a,) = o a
fourni Téquation R= o^ c'est-à-dire que, si TT(a, — Pi)
s'annuïe, R s'annule également. Or ces quantités sont, d'après (a) et les hypothèses précédentes, des fonctions rationnelles et entières , du même degré, dé 7^9 -r^ y • • • 9 ainsi
que — 9 — 9 • • • Elles ne peuvent donc différer que par un
facteur indépendant des quotients en question.
Si au contraire , dans l'équation R = o qui résulte de l'élimination des x entre y*(x) =oety(x)=o, R est une fonction des quantités en question d'un degré différent de celui que nous avons indiqué, cette fonction contiendra alors un facteur étranger, dont l'annulation n'entraîne pas l'existence d'une racine commune aux équations données , ou bien cette fonction s'annulera identiquement.
4. Pour obtenir, par l'élimination de x entre les équations f(x) = o et 9) (x) = o, la résultante de ces équations, Euler (*) et Bezout (**) ont trouvé en même temps une méthode applicable à tous les cas, et qui a été récemment reprise par Sylvestcr (***) et par Hesse (****). On
(« ) Histoire de l'Académie de Berlin, 1764, p. 96.
(**) Histoire de l'Académie de Paris, 1764, p. 298.
(***) Philosophical Magazine, 1840, n'* 101. — Voir Richelot, Journal de Crelle, t. XXI, p. a26.
(****) Journal de Crelle, t. XXVII, p. i.
APPLICATIONS DES DÉTEKMINANTS. 8l
forme pour cela les identités
/(x) z=z a^-^ OiX -\- aiX* + s ,
,r/(x)= ^ fl(,xHj-fl,j:'H-
ar*/*(j:)= a^x^
^(jr)= fto-f- ^i^H- ^2J?*-t-
a?ç (or) = 60X-H ôia:*-f-
ji:*(p(af)=: b^x^ -{-
En désignant par R le déterminant de degré m+n, dont les éléments sont, pour les n premières lignes horizontales ,
O /?• fl| ûm o. . . . . . .
et pour les m lignes horizontales suivantes,
^0 ^1 bi. . . b^ o o
o b^ b^ bn o
o o ba bn
o o. . . .^0 bn\
en désignant de plus par yi^x.i^x le coefficient du A*'"" élément de la i*^' ligne horizontale de R , on a (§ IX , 1),
Si l'on pose maintenant/* (x) = ei(f[x) = 0, R = o sera
8a SECONDE PAIVTIE, ^ XI^
]a résultante du système précédent d'équations (§ IX, 3).
Or le déterminant II, divisé par a]^ &* (§111,2), est une
fonction rationnelle et entière 'du degré n par rapport
a — î — »•••> et du degré m par rapport a — > -r-v> et Cm o^ or rr ^^ ^^
les facteurs am? ^n sont supposés, dans la formation dcR, ne pas s'annuler; par conséquent (3) Féquation R = o est la résultante des équations f{oc) = o et f [x) = o.
5. De la manière que l'on vient d'indiquer, on n'obtient pas la résultante des équations données sous la forme la plus simple , parce qu'une grande partie des éléments du déterminant de degré m-^n s'évanouissent. Le procédé d'élimination conduisant à la simplification désirée, et em-r ployé par Bezout dans le Mémoire cité (p. 317), a été, dans ces derniers temps, repris et éclairci par Jacobi ('^) et par Cauchy {**)• Des équations données, que Ton suppose d'abord être toutes les deux des équations de degré n, on peut déduire n équations du degré n — i , d'où l'on conclut ensuite, par la formation d'un déterminant de degré /i, la résultante des équations données. A cause de
F(a') = a^-^ra.x +. . .-H <ir^''-l- (^r+. -h ^r+a^^^ -f-. • . -|- fl„^-''-') .r'"^', la quantité
r= (fl,-*- ^,a:-+-. . .-i-«r-^) (^r-^-f- ^,+2^:-!-. . . -h ^«.ar»-'— •) — (^p -4- ^1 a: + ... H- brX'') (ar^i -f- ûr^^.v + . . . -f- /i„j:»-'— •),
sera une fonction de x du degré n — i , que nous désigne-
( *) Journal de Crellc, t. XV, p. lOî .
(**) Exercices d'Analyse, iS^o» p. SgS.
APPLICATIONS DES DÉTERMIWAlVTS.
rons par u^. Du système des identités
"T" • • • ~r* Co,ji — I ^
tl
oj
-\- . . . -f- ^l,/i— I •^ ffi 9
tt„
on tire (§IX, 1)
Rx^ = tto7<».«-i-«'7M-i-' • .-h««-i7„-i.o
en supposant
et en désignant par y^^i^ le coefficient de c^^^ dans R. Si l'on a maintenant
,F(x)==o, tp(jc)==o, il en résulte
et par suite R s=: o sera la résultante de ces dernières équA* tiens. Or les éléments Ci^i sont des fonctions linéaires tant de ^1^ , ^1 , . . . , que de i^ , ftj , , . . , d'où il suit que le déterminant R est une fonction du degré n des mêmes quantités 5 donc R = o est la résultante des équations données
F(a:) = 0, <p(.r)=rO.
6. L'élément c,.,, du déterminant R est le coefficient de X* dans m^. Or on a •
= ^{aibi-atbi).ri-^^-^
en supposant snccessiTement
i=o,i,...,r, et  = r-h i,r-4-2,. . . ,».
En ajoutant la condition
i-hit — r — 1 = *, et faisant, pour abréger,
di,i = «i ^à — «* ai j
on aura
Pour r>»5, les r — -5 derniers de ces termes s'évanouissent identiquement, savoir
puisqu'on a -
^/,* = — dkj et rf,-,, = o.
Par suite on a
Pour r-f-5-|-i]>», lesr-4-JH-i — n premiers termes s^évanouissent, parce que, d'après ce qu'on a supposé sur lé * degré des équations ,
doivent être considérés comme nuls.
La somme des r — i premiers termes de c^,, est identique avec c^^i^s+i 9 on a par conséquent la formule
^r,<= ^r— 1,4+1 H-Wr,n-1 ( )»
pour le calcul successif des éléments de R.
{*) Jacobi, loc. cit., p. 102.
(**) Jacobi, Ioc, ci/., p. ii4>
APPLIGÀflONS DES DÉTEKMINAfiTS. 85
Exemples. — Pour trouver la résultante des équations
on formera
et Ton obtiendra
Pour trouver la résultante des équations
on formera
o = «1 4- ûi ^ H- «2 J?' -4- flj J?',
O = 3g H- 3, X -H ^2 JC' 4- 63 JC',
et Ton aura
^«,1 «/#,2 rfo,3
<5(|,> rf«,3-f-<3^l,2 ^1,3
Pour obtenir la résultante des équations
o = £7p -h fl, a: 4- a^x* 4- <Î3 ^ H- ^4 J?S o = ^0 4- 3i -2? + ^2 *' 4- ^3*^ -H 3« ^S
on formera
•il
86 SëCOI^DE partie, ^ XI.
ce qui donnera
On peut pousser plus loin le développement de ces déterminants, au moyen du § Y, 2, et Ton peut se servir paur cela de Tidentité
(§ ni, il). Sous la forme que nous venons d'indiquer, les résultantes des équations de degré élevé sont plus faciles à apercevoir que sous les formes que nous leur avions précédemment données.
