R = o étant la résultante des équations

et fr^s désignant toujours le coefficient de c^,, dans R , du système des équations

il résulte, pour la racine commune x des équations

F(x) = o et op(r) = o,,

la proportion [^ IX, 3)

i étant un quelconque des indices o, i,. ., n — i. Don^ la racine commune des équations données, si toutefois il en existe une, est nue fonction rationnelle' des coefficients qui entrent dans les équations.

Des proportions

X , X ZZZ Jj^i , y^^r %

APPLICATIONS DES DÉTERMINAJVTS. 87

et de l'identité y,^^ = y^,, (§ MI, 9), il résulte qu'on a

d'où il s'ensuit; d'une pai*t, que y^^i ne change pas lorsque i^ k reste le même, et que l'on peut substituer les quantités y^-^jt, y,i,j+i, . . • indifféremment au lieu de y^^i; d'autre part, que Ton peut prolonger la proportion précédente jusqu'à la puissance a/i — a de a:, de sorte que

Les quantités 70 ? 7i ^ • • • 9 7«nH.2 forment donc une progression géométrique y dont ta raison est la racine commune aux équations F (x) = o et q? (x) = o. De là on déduit les relations

7/ =: 70 X' , 7A = 70 ^* ', 7i-hA = 7o •ï^''*"* >

et par suite les; identités

dont la dernière s'accorde avec le § VIIj 4.

8. Lorsque/(j:) est de degré inférieur à y (a?), par exemple, lorsque f(x) est du degré m, et (f [x) du degré n z=m-{'py la résultante des équatîonsy*(jf)=o, (f (x) = o peut se déduire de celle des équations

En effet, l'équation xff{x) = Oy outre les racines «1, at, • . ., a^, a encore p racines nulles; par consér quent (2)

(*) Jacobi, loc. cit., p. 106.

88 8ECOSDE PARTIE, $ XI.

est la résulunle des équations jfj (x) = o et f (^) == o , tandis que

est la résultante des équations données/'(x)==o et f (x)=o. Si Ton a donc trompé, par la méthode de Bezout (5), la résultante R = o des premières équations, on aura

pour la résultante des dernières équations données.

Dans ce cas, on peut démontrer que R est divisible

par V^{^^t àTaidede la proposition (§VI, 4) [d'après la-:

quelle on a

.^p— !,•• • .yp— t,p— I

^Ji— 1,« • • • g'n— 1,«— 1

lorsque, pour r=:;o, i, ...,p — i,ona et pour r = p, p-f- 1, . . ., w — i,

Pour identifier la fonction F (x) de Fart. 5 avec la foncr tion 3Cff{x) que nous avons à considérer ici, il faut poseï^

at=zQy ^4 = 0,..

Qn a, d'après cela, pour r=o, i, ,..,p — i (6) ^

{*) RosEMHAiN, Journal de Crelle, t. XXVIH,, p. 368..

En posant^ pour ces valeurs dé r,

il vient

fr,i = hr-i , gs,i = a

yi-ji+i ^fr^r+t^ • • • devant être considérés comme nuls. En posant , pour leâ autres valeurs de r,

on a effectivement

y 0,0 • • • yo/P — •

jp-'\,ù • • • Jp-.\,p-.i

— bx — ^0 o — èj — ^1 — ^0

o O. . O «|, ... On—\ fin O O, , .apOp^x'^'^n O

— O.p^x'—^Vp^i'—Qp — 3 , • . — t>c

An iZn^l ». *

Cp,n--\

Le premier de ces déterminants est égal à ( — èo)'' (§ H, 7) 5 l'autre est le déterminant des coefficients des n fonctions suivantes, de degré n — ? i ,

les dernières de ces fonctions devant être formées d'après la règle donnée dans l'art. 5. Donc la résultante cherchée des équations /(jc) = o et ç [x) == o est identique avec la résultante des équations

xP-'/{x)z=Of a:P-^/(x) = 0, ..,,/{x) = Oy «p=o, ..w„^, = o.

Remarque. — En formant, d'après Bezout [L c.^ p. 323), au moyen de x^f(x\ et de f{x)^ comme dans (5), les

fonctions u^,Uf, . . . , if„^, , de degré h — i ; en exprimaot ensoile, a Faide des équations

/(x) = o, jrf{x) = o, .... xf-'/(*) = o,

les quantités jt*, af**"*, — iX^* sous ferme de fonc— tioDS de degré m — i, et rédoisant par là les fonctions u^^ ifi,. . ., ir.i an dqpré m — i ; la résoltante des équations

sera bien du d^ré m par rapport aux coefficients de f (x) ; mais elle ne sera pas en général du degré n par rapport aux coefficients def{x) ; par conséquent elle sera généralement diflerente de la résultante des équations

/{x) = o et T» = o.

9. Etder a montré, à la fin do Mémoire que nous avons cité plus haut (^) , comment on peut trourer les conditions pour que deux équations données, f(x) = o et f {x) =o, aient deux ou ^usieurs racines communes. Les éliminations qui conduisent à ce but sont plus aisées à apercevoir, lorsqu'on se sert de la méthode indiquée par Lagrange {**) •

En désignant par a une racine de l'équation^(x)=3= o, et posant <f(oc) = — y, l'équation résultant de l'éliminaûon de a entre les équations f{a.) = o et ç (a) +y = o, sera du d^ré m en j^ (1 ), et aura autant de racines nulles quey*(.r) =oet f (x)=:o ont de racines oonunimes. Or de la résultante R=o des équations y (x) =o et <f (x) =o, on déduit la réstd tante des équations/ (x) = o et f (x) + J" = o, en faisant croître (f(o)=b^dejr. En supposant que les coefficients b^^b^^. . .^b^ soient indépendants les uns des

(') Histoire de r Académie de Berlin, 1764, p. 64-

(**) Uémoires de V Académie de Berlin, 1770. « Roflc\ioui«^ etc., »' art. 12.

APPLICATIONS DES DÉTEKMÏNANTS, Ql

autres^ et qu'il n'existe ainsi aucune relation entre les racines de Téquation f {x) = o, R devient, lorsqti'on y remplace b^ par io -t-y?

dK I rf' R ,

Par conséquent

dbo 2 db]

sera la résultante des équationsy(a:) :^o et ç [x) -f-j' = o. Les conditions pour que cette équation ait i, 2, 3, . . . racines nulles, et partant aussi, pour que J*[x) = o et f (jrr j = o aient une, deux, trois, . . • racines communes 9 sont respectivement

rfR

dK «PR

dans la supposition que les coefficients de la fonction <f{x) soient indépendants entre eux ^ ou encore,

dK " ^R

CriCf • • • «

dans la supposition que les coefficients de la fonctiony* (a:) soient indépendants entre eux.

S XII. — Produà de toutes les diferences de plusieurs

quantàés données,

\ . Pour désigner le produit de toutes les différences que Ton obtient lorsque, étant donnée une suite de n quantités «i> «1, • . • , a„, on retranche chacune d'elles de toutes les suÎTantes, nous emploierons la notation

P{«|> «î» •••,««) = (aj—ai)(aj — a,) .•. (a,^a,)

(aj—o,) •. . (a, — a,)

(ot, — a^,).

Ce produit est égal au déterminant de d^ré n

l CLi a.

I Of a. ... a

Démonstration. — Ce déterminant est une fonction rationnelle et entière des quantités «i, off, . • •,«», et il s'annule lorsque deux de ces quantités deyiennent ^tes entre elles (§ II, 4) ; il est par suite divisible par le produit (ûtj — «i)- . • De plus, le déterminant, comme le produit,

sont du degré

par rapport aux quantités

*l > o*s > • • • > ot« 2

(*) Cadcht, Journal de l'École de Polytechnique, XXVIl* cahier, p. 48. Le cas particulier

(ft --a) (c — a) (c — 5) = aè«— a*h -4- fcc*-~ fcV-Hca' — c*tf,

avait déjà été indiqué par Vaudermonde, Bistoire de l'Académie de Varis^ 1771, p. 369. Le théorème précédent a été démontré par Cauchy [Analyse Algébrique, t. 111, § 2, e^ Note IV ) en développant le produit. Yoir Jacobi, Journal de Crellcy t, XXII, p , 3Go .

APPLICATIONS DES DÉTERMINAJNTS. pS

donc le quotient du déterminant divisé par le produit est un nombre indépendant de «£,««, ..,«„, et de plus, ce quotient est l'unité, comme on le reconnaît par la comparaison du premier terme du déterminant avec le premier terme du produit.

Tandis que le produit renferme

n(ii—

termes, dont plusieurs sont égaux deux à deux et de signes contraires, le déterminant, qui lui est égal , se compose de I . a . 3 . «. . /» ^termes. En vertu du théorème précédent, on n'a plus à calculer ,

dans le cas de 3 quantités, que 6 termes au lieu de 8;

2. Lorsqu'on multiplie le produit de toutes les difiérences des quantités «i, a^, • • • > a„ par le produit de toutes les différences des quantités |3i, (3t,. • . , (3„, on obtient également un déterminant de degré n. Car on a (§ VI, 3)

P(a,, a2,...,a„). P(pi, P2,...,p„) =

I ai . • • ^,

> p"- "PT

en posant

H Ail

u= I -h a,p.+ «:p;+. . .-^cT' pr = mi;j,(*)

ou encore

i— I ni-^i

(*) Gaucht, Exercices d'Analyse, t. II, p. 169.

94 ftECOliDE PARTIE, ^ XII.