II I

«2 p2 «2 — Pn

Démonstration, — Désignons le déterminant du second membre par A, posons

et multiplions les éléments de la première ligne horizon-

(*) QaKVGBY y Exercices d'Analyse, t. H, p. i5/|.

g6 SECONDE PARTIE, §XII.

taie de A par 7 (âCi ), les éléments de la seconde ligne horizontale par f («Z]), et ainsi de suite : le déterminant A se changera (§111, 2) en

Les éléments de ce nouveau déterminant sont des fonctions rationnelles et entières, du degré n — i , des quantités données ; donc ù TT ( a, — (3^ ) est une fonction rationnelle et

entière du degré n (n — i ), des quantités données. Ce déterminant devient identiquement nul, lorsque les éléments de deux lignes parallèles deviennent égaux (§ II, 4) ; donc il est divisible parle produit

P (a,, aj, . . , a„). P (p,, fia, . . . , p„).

Mais ce produit est également une fonction rationnelle et entière, du degré n (ji — i), des quantités données; par conséquent, le quotient

est un nombre indépendant des quantités données, et ce nombre peut s'obtenir par la considération d'un cas particulier.

Si Ton suppose, en effet, les quantités j3 respectivement égales aux quantités a, alors tous les éléments du détertni-

nant A IT (a, — jS^) s'annulent, à l'exception de ceux qui

sont situés sur la diagonale qui va du premier au dernier élément. Le déterminant se réduit donc à son terme initial

(§11, 7), c'esi-à-dire, au produit des différences

a„ -^ aj . a„ — aj , . • . ^ a„ — «/i— 1 9 3^ ,

que nous désignerons (1) par

Il s' ensuit de là que'

est la valeur constante du quotient cherché.

5. A Taide du produit P (a^, a,, . . . , «„), on peut donner une solution spéciale du système particulier suivant d'équations linéaires. Si l'on pose

I * ri '

on a

(g,— ^) (aa—^). . .(a/i— /) (g,-^,— r) . . . (g^^f) (g,— g;) (as— -g,). . . (a,,— a,) (g/.^., — a,-). . .(â„— g,)^

Démonstration, — La résolution ordinaire donne

(* ) Cauchit, Journal de l'École Polytechnique ^ XVII* cahier, p. ^3.