SIX
a ût • • • a
s * • * fit
Od en tire, en mettant les premières les /**'"" lignes de ces déterminants, et appliquant le théorème de l'art. 1 ,
P(ai-, ai, ... , «1— I, «14.1, . • • > a»)
d'où il résulte qu'il ne reste plus, au' numérateur comme au dénominateur, que les n — i facteurs considérés cidessus.
6. Lagrange a donné (^) , du système plus général d équatîons linéaires
tt
jr, a, 4- a:, a, -f-.,.j:„a„ = «1 ,
jp, a^ -h^ja, H J^/i «^ = ««-
la solution suivante, qui renferme le cas considéré par Cauchy (5). Formons la fonction
(*) Mémoires de V Académie de Berliiif 1775, p. i85} 1793, p. 248, sans démonstration. La démonstration que nous donnons ici fait voir que la solution du système en question trouvée par Schbibner {Comptes rendus de la Société Saxonne j i856, p. 65) ne diffère pas de la solution de Lagrange.
APPLICATIONS ©ES DÉTERMINAN'^S. 99
li'où nous déduirons les fonctions
et de plus en&n la fonction dérivée y {z) . On aura
'^if («i) = «o/*-i (a,) -h ai/«-2 (a,) H- . . . -f- tt^if^ [ai) -h tt;^,.
Démonstration. — En multipliant /„.! (z)^/n^t(z)^' • . respectivement par i,f, t*,..., et ajoutant les produits, C„.« aura dans la somme pour coefficient
d'où il suit que Ton a
De celte identité résulte le système des équations
yii— I (z) -h aiyi,2(z)-i-. . .-h «1 == 9
Multipliant ces équations respectivement par a:,, aTj,. . ., Xni et faisant la somme des produits, il vient, en vertu des équations données,
Uo/n-i [z) H- «,/,2 (z) -f-, . . -+- tt„,
{ z — ai z - — a,, z — a„ J
lOO SECOHDE PARTIE, $ XII.
On Toit par là que Xi, Xs, . . . , x. ne sont autre cliose cpae les numérateurs des fractions partielles dans lesquelles peut se décomposer la fonction fractionnaire
Ces numérateurs sont, comme on sait,
<f{z) représentant le numérateur de la fonction fractionnaire.
Si Ton a , eiv particulier, ir« =: i , tt| = t, w, =r t*, . . . , il vient
ce qui s'accorde avec (5).
7. La résultante du système analogue de n tions linéaires , pour les mêmes n inconnues ,
Xx -h ^2 -f-.-.-hx, =«., j:,a, -f- Xjaj ■+-. . .-har,a,= ir,,
I equa>
nj
est, d'après le § IX , 3 ,
Ua I ... I
c^ I se I • • • Gb|j
a. • • • ût
APPLICATIONS DES DÉTERMINANTS. lOI
Cette même résultante se simplifie , en remarquant que
(z — a,) (3 — aO.--(2— ««)=2'*H-Cia'^'-+-C,z»-»-f-...-hC„,
C,„ désignant la somme, prise avec le signe ( — i)'", des produits m k m des quantités différentes de la suite «i , 0^3, . . . > (Xa; et que, par suite,
s^évanouit identiquement. En multipliant donc les équations données respectivement par
et faisant la somme des produits, on trouve, pour la résultante de ces équations ,
(2) C„Wo H- C„, w, -+- . . . + C2a„j-hC, w„-i -+- «„-Ho.
En comparant les coefficients de Uf dans les équations (1) et (2), on obtient l'identité
ai
. . fZf
= (— l)'*-' C„iP(a,, a,,. . ., a„)
