Une fonction entière, homogène, du degré m, de
lOa SECOttDE PARTIE, § XII.
deux variables X y y^
r devant recevoir les valeurs o, i, a. . ., m, et I j désignant le r*'"^ coefficient binomîal relatif à l'exposant m j peut en général , pour m impair, se ramener à la (orme
où z doit recevoir les valeurs i, 2, . . . (*). Car les
m -H I coefficients pt, ptf — 9 91 « 9i » t • • peuvent , en général , se détenniqer complètement au moyen des quantités données Aq, ai , . . . . Au contraire, pour m. pair^ en faisant
/ = 1 , 2, . . . , — hi,l'undesm-4-2coefficientspi,p„. . . ,
Çif ^1» • • • resterait indéterminé.
Pour réduire la fonction
/2/1 — i\ , , /in — i\
à ta forme
posons, d'après Sylvesler (loc. cit.)j
( *) Sylvesler (Philosophical Magazine, i85i, t. II, p. 3gi ) a docnc à cette expression le nom àQ forme canonique. La forme canonique d'une fonction homogène entière de deux variables a été étudiée avec de plus grands développements par Sylvesler, (/oc. cit., et Cambridge and Dublin Maihcmaticbl Journal, t. IX, p. 93).
APPLICATIOfiS DES DÉTERMINANTS.
nous aurons les conditions
io3
Ox
= ^(tti
-+- ^ja.
-+-• . .-f-^na^.
= ^la'
fl2«-
, in-
En éliminant les quantités &i , &s , . . . , &„ entre la pi cmièrede ces équations et les fi suivantes, on a (7)
C„ ûT» -h C„«i /ï| -1- . . /-+- Ca <I„-î -f- Cl fl„i -+- fl„ = o.
On tire de même, de la seconde de ces équations et des n suivantes , et ainsi de suite , les nouvelles équations
C„«, -h C„-, <Ï2 -h . . . -h Cj /?„, -+-C|/7„ -+-rt„+, =0,
C„ a„t -f- C„«, «„ -f- . . . -f- Cj a?n-3 -H Cl «jn-i H- <Ï2n-i î= o.
D'ailleurs, en donnant à z une des valeurs «i , a^ , . . . , a„ , on a
C„ -+- C«,3 -h. . .-+- CïZ»-^ -hC^;''-' -4- 2« = o.
La résultante de ces fi + 1 équations, linéaires par rapport à C„ , C„t , . . . , est (§ IX , 3)
rtfo fli rtj . . . a„ ' /îi rtj fl'., . . . a„4.,
Par la résolution de cette équation , on trouve les quantités oc if ai,..,, a„. Le premier membre de cette équation peut
(§ m, 4) se transformer en
<ar«
et par suite (§11, 5) <2n
flfj Ox 2,
^in—x"^ ^n— 2^
Après avoir déterminé ai , ûTs , . . . , a„ , on obtient les quantités 6i , ij 5 . . . , &« au moyen des n premières équations du système posé ci-dessus, art. 6, et là on trouve, pour condition nécessaire de la réductibilitê de la fonction donnée, que les racines «i , «s , . . . , a„ de Téquation précédente doivent êtrie toutes différentes les unes des autres.
