Si Von pose

et que «1, «2, ...,a„ soient les racines de réquation f[x) = 0, alors, d'après le §XI, 1,

fj(«* — «*) = 0,

i et k ét^nt des nombres différents de la suite i , 2, . . . , ^^, sera la condition nécessaire et suffisante pour que deux quelconques des racines «i , «a , . . . , <x„ soient égales entre plies. Le produit de toutes les différences, positives et négatives, des racines, produit que l'on peut représenter (3)

par

APPLICATIOJVS DES DETERMINANTS.

lOtl

n{nr-i)

io ^1 . . • Su — I "i «2 • • • "a

Pu— 1 ^n ' ' * Szn—i

a été appelé récemment le déterminant de F équation y*(a:)=o (*), parce que sa valeur nulle indique l'exis-r tence de racines égales dans Téquation, et que, lorsqu'il n'est pas nul, on peut décider, d'après son signe, si, parmi les carrés des différences des racines, il y en a un nombre pair ou un nombre impair qui sont négatifs, c'est-à-dire si Téquation a un nombre pair ou un nombre impair de couples de racines complexes.

10. Pour représenter le déterminant de Téquatioi; f(x) = o sous la forme d,'une fonction rationnelle des quantités

on peut exprimer, au moyen des quantités données, les sommes des premières, des deuxièmes, des troisièmes,. . . puissances des racines, c'est-à-dire, 5i , s^^ . . . , 5„ (**), où Ton peut transformer le déterminant

5|t t A'n . . . S'in—'î

de telle sor le que les relations établies par Newton (***)

(*) Gauss, Demonsir, nova altéra, 6(Gomin. Gœtt., vol. IJI). (** ) Au moyen des formules données par Girard, en 1629. Voir Klugel, Dictionnaire de Mathématiques, art. Algèbre, p 56.

{***) Arithmétiqur: universelle j éd. S'Gravcsandc, p. 19?..

lo6 SECONDE PARTIE, § XII.

eutre 5o , 5, , 5, , ... conduisent à Télimination de ces dernières quantités. Pour employer ce dernier moyen, changeons le déterminant donné, de degré n, dans le déterminant suivant, de degré 2 » — 2 (§ II, 6) ,

Sq s y S't

Ajoutons maintenant, à la seconde ligne verticale, le produit de la première ligne verticale par -^' ; à la troisième

ligne verticale, le produit de la seconde par -^ et celui

de la première par — '; à la quatrième ligne verticale, le

■"il

produit de la troisième par -^ > celui de la deuxième par 5 et celui de la première par -^ ; et ainsi de suite. On

fin

a ainsi

•fo '^1

'*Vi--l ^n • ' ' ^ in

Jn-î

o <tnU f^nS^ -\- fln-\S»

APPLICATIONS DES DÉTERMIWAM'S. 1 07

A Taide des identités

[n — 2 ) ll„3 = fla Jj -h ll„, 5, H- On^i *• I

(« — 3 ) âf„3 = On .^3 -f- <?«, Jj 4- <!I„j J, -f- On^z U ,

les éléments du dernier déterminant peuvent s'exprimer de telle sorte que, dans chaque élément, il n'entre qu'un seul des coeflQcients ao, ai , . . . , a„ à la première puissance.

On reconnaît ainsi que le déterminant de Téquation f[x) =0 est une fonction rationnelle et entière, du degré an — 9, des quantités

qui devient homogène en la multipliant par o^"""* (*)-

H. S\f(x) est divisible par [x — «*)*, la fonction dérivée /'(x) sera divisible par (x — «*) *"S /" (J^) le sera par [x — «il) *■"*, et ainsi de suite. Par conséquent, lorsque ai sera une racine du degré de multiplicité h de l'équation f{x) = o, les équations

auront la racine commune ai^ qui entrera A — i fois dans y (x) =0, A — a fois àdjïsf" (x) =o, etc.

En supposant maintenant que/'^(a:) ne s'évanouisse pas. en même temps que/* (x) ety'(x), soit R= o la résultante des équations f(x) = o et/' (x) =o •, R ne différera du déterminant deréquationy(x) = o que par unfacteur indépen-

{*) Cette remarque a été i'aite en partie par Joachimsthal, Journal de Crelle, t. XXXIll, p. 871, puis cofhplclcc par iacobi. Journal de Crjtîle, t. XL, p. 2/14.

Io8 SECONDE PARTIE, § XII.

dant de — î — ? • • • ? -^. La quantité K est, en effet, une

«n «Il ^«

fonction rationnelle et entière des quantités

On On û„

et elle est d'un degré inférieur à aw — i , parce que, en vertu des équations donnéesy(j:) =o et f [x) = o, les coeflScîents àe f[x) ne sont pas indépendants entre eux [voir § XI, 2-4). Mais on peut considérer R = o comme la résultante des équations de degré n — i ,

/'(^) = o, nf{x)^xf[x) = o,

puisque f[x) s'annule nécessairement en même temps que J' [x) et nf[x) — xf [x]. Les coeflScients de chacune de ces dernières équations sont indépendants entre eux ; donc R est une fonction rationnelle et entière du degré n — % (§ XI, 4), (Jes quantités

Le déterminant de réquation/(a:) = o est également une fonction rationnelle et entière des quantités

et du degré in — i (10). Actuellement le déterminant de réquaiion/(a:) = o ne peut s'annuler sans que deux racines de l'équation /(x) = o ne soient égales entre elles, ou que les équations /(.r) = o et /' (.r) = o n'aient une racine commune, ou que R ne s'annule. Donc le déterminant de l'équation /(x) = o ne peut différer de R que par un facteur indépendant des rapports des coefficients de /(or).

En réalité, le procédé indiqué dans Tart. 10 pour la formation du déterminant do Téqualion f [x] = o coïncide

entièrement avec la méthode par laquelle Euler et Bezout ont formé la résultante des équations

(§ XI), 4. En appliquant la méthode abrégée d'élimination de Bezout {§ XI, 5), on trouve le déterminant cherché sous une forme plus concise. Les formes particulières que Ton a établies pour les déterminants des équations de degrés particuliers, se trouvent dans un Mémoire de Tortolini {^An^ nalidiSc, matem. Roma, novembre i855).

12. Au lieu de la fonction y (x), on peut considérer la fonction homogène

qui est identique avec f{x) pour y = i (*)• Les coefficients binomiaux ont été donnés comme facteurs aux coefficients de la fonction, afin que l'égalité de toutes les racines de l'équation f{x) = o ou ç (x,y) = o ait lieu dans le cas où

forment une progression géométrique. En remplaçant/" (x) par (p (x, i), on a, au lieu dey (x),

(*) Cet important artifice d'analyse a été employé par Plûcker, (5r*'« der analyt. geom., § 1, 7; parHesse, Journal de Crelle, t. XXVIII, p. 102; par Joachimsthal, Journal de Crelle^ t. XXXIII, p. 873 ; par Jacobi, Journal de Crellcy t. XL, p. 347, et par d'autres; et pour l'objet actuel, par Salmon, Higher plane cun'eSf p. 296.

IIO SECONDE PAItTIE^ § 3^II>

et comme, d'après le théorème d'EuIer, on a îl viendra, au lieu de Tif{x) — xf' (x) ,

difixy i)

où Ton fait y = i après la différenliation. Si R = o est la résultante des équations

alors, d'après (H) , R sera, à cela près d'un certain facteur numérique, le déterminant de Téquation (f{x,i) = o(*).

On trouve, d'une manière analogue, pour l'égalité de trois racines, au lieu des conditions/* (x) = o, /^ (x) = o, y" (a?) = o, les conditions

ii^f(x,i) __ ^ d'tf(xyi) ^ d^(f{x,i) __ ^ dx* * dxdr ' djr^

pour l'égalité de quatre racines,

/?m(.r,l) rf'œfx,!) ff»(pfj:,l) /5Pcp(x,l)

é/x^ ' dx^dy ' dxdy^ ' /^^^ *

et ainsi de suite.

13. Le déterminant de réquation/(jc) = o est le terme connu de l'équation dont les racines sont les différences entre les racines de Féquation donnée (**).

(*) Soient Ui, u,,...yii„ les quotients différentiels partiels de la fonction homogène u, de n variables; si R=o est la résultante des équations u^ = o, u, = o,. . . , u^ = o, R sera ce que Sylvester appelle le discriminant delà fonction homogène {Phiîosophical Magazine, i85i, t. Il, p. 4o6).

(**) Cette équation, connue sous le nom Adéquation aux carrés des différences, a été employée par Waring {Mise, anafyt,, 1762), dans la recher-

Si X prend, en vertu de réqualion/{x) == o, les valeurs

ai, a-iy. . . , a„,

u prendra, en vertu de rcquation/(a: -h m) = o, les valeurs

D'après cela, en vertu des deux équations f'(x ^ u) = o elf[x) = o, M prendra toutes les valeurs qui se déduisent de oLi — ctj, en remplaçant i et k par tous les nombres de la suite I, 2, . . . , 71. Si l'on désigne maintenant par Y (ii) = o la résultante des équations J^(^) = o et /"(x -j- m) = o, y(i/) sera une fonction rationnelle et entière de z/, du degré n* (§XI, 2), puisque les coefficients de x dans f{x-\-u) atteignent et ne surpassent pas le degré n par rapport â u. Y (i/) s'annule lorsqu'on donne à u une des n'^ valeurs a, — a*^ par conséquent Y (ii) = o est l'équation cherchée aux différences des racines y(a:) = o.

La différence ai — a^ étant nulle pour i = A, l'équation V(m)=io aura n racines nulles, et par suite ^ (u) sera divisible par a". Les autres racines de cette équation sont en général différentes de zéro, et opposées deux à deux •, donc

est une fonction paire de u du degré n(n — i), ou une fonction de m* du degré

che des racines d\ine équation donnée. Dans les Transactions pkilosophiquei,. 1763, p. 394» Waring a fait connaître, sans démonslration, les équations aux différences des racines des équations du /|® et du 5® degré, avec les caractères qui en résultent pour la réalité des racines de ces dernières équations. L'équation aux différences des racines d'une équation donnée a été traitée avec développement par Lagrange (/l/5fo//'e de l'Académie de Berlin, 1767, p. 3ii, art. tJ, et Résolution des étfuations numériques, art. 8 et 96).

tl'2

G)inme on a, par le théorème de Taylor,

f{x -h u) =f{œ) 4- uf (œ) H ^ {x) 4-

=/\u)+xf (u)^ ^r [u)-^. .. ,

V (il) = o est évidemment la résultante des équations

o =/(«) 4- xf (a) 4- ^ /"(«)+.,. 4- ^„.r«,

la résultante des équations

/"{ir)4-...-h«./^"-'.

En faisant, dans cette dernière, u = o, on obtient la résultante des équations f{x) = o elf [x) = o, c'est-à-dire la condition pour que deux racines au moins de l'équation f{x) = o soient égales entre elles (H).

§ XIII. — Des déterminants fonctionnels ,

1. Etant données n fonctions^i, /i,. . . ,^1» des n variables Xi, Xt, . . . , j:„, ^^fi,h désignant la dérivée partielle de fi par rapport à la variable Tj[, de sorte que

, dfi

le déterminant de degré w,

J-i,\ J'i,l . • -ys^n

y/j, I Jn,'i' ' *Jn,n

APPtlCAïlONS DES DÉTERMIiNAiNTS. . 1 l3

s'appelle le déterminant du système des fonctions données ou le déterminant fonctionnel du système (*) . Ce déterminant se réduit à un déterminant de degré inférieur, lorsque, par exemple, f ne dépend que de x^^f que de x^ et de jTs (§11, 5). Le déterminant fonctionnel se réduit à son terme initial, lorsque /*i est une fonction de X\^ f% une fonction à&x^ et de Xt,yi utae fonction de oTi, de x» et de jTs, et ainsi de suite {§ II, 7).

2. Soît/i one des n fonctions données de J?! , Xi ,..., x„, dans laquelle la variable x<^ ne manque pas : alors Xy^ est une fonction déterminée de/i , a^t , . . . , j:„. Soit/i une des fonctions restantes, dans laquelle la variable x^ ne manque pas, après que Xy^ a été exprimée au moyen de/i , j:, , . . . , a:„ : alors x^ est une fonction déterminée àef^fi , ots , . . . , x„. Soit /s une des fonctions restantes, dans laquelle la variable x^ ne manque pas, après que x^ a été exprimée au moyen de^j , J7t , . . . , j:„, et Xt au moyen àefx^ft , Xs , . . . , x„ : alors Xs est une fonction déterminée de^*] ,^9,^3, ^4? • » • 9 x„. I^t ainsi de suite. D'après ceîa, on peut considérer, quoique en général implicitement,

fx comme fonclioD de X|, ar,, a:», , .r„,

Jn ^e y,, y 2, y 3, • • • > Jn—M ^n-

En entourant de. parenthèses les dérivées partielles des fonctions ainsi transformées, pour les distinguer des dérivées partielles des fonctions données, on obtient le déterminant fonctionnel du système proposé sous la forme du prpdui t

\dx,} \dx,y'\dXn)^**'^'

( *) Jacobi, De determinantibus functionaîihus {Journal de Creîl", t. XXII, p. 319), §5.

(**) Jacobi, Det.funct., § 8.

ii4

SECONDE PARTIE, § XfH.

étant pas différent de -~ > tandis que ( ^'

■ j dîffèn

de -^en ce que J\ est considéré, dans le premier cas,

comme une fonction de/*!) Xs, . . . , x„^ et dans le second, comme une fonction de Xf^x^^ . . . , ar„ ; et ainsi de suite.

Démonstration.-^ Diaprés ïa supposition faite sur/-, on a

Onadonc(SVI, 1)

dfi\ /4A

d/J \clxk \dxi/'

€iXi

dxt

(df\l^' \dxj \dx.^^

\dxj\djri)\<tx^)

Les deux derniers déterminants se réduisent à leurs termes initiaux (§11, 7)-, Tun a pour valeur Tunilé, l'autre est égal au produit ci-dessus.

3. Théorème. — Si le déterminant R du système de fonctions /i, /i, , . .^fn s'annule identiquement, les fonctions données ne sont pas indépendantes les unes des autres, et réciproquement (*).

Démonstration. — Si le déterminant R s'évanouit identiquement, il faut qu'un des facteurs du produit (2)

\dx,l \dxj \dx,J

(*) Jacobi, Ùei, funct.t §§ 6 et 7.

APPUCATIOWS DES DÉTERMINANTS. Il5

s'annuk îdentiquemeHt. Or les quantités

dXn^,

. sont, en général, dîflerentes de zéro, puisque, par liypoihèse (2),yi contient la variable jti, f^ la variable Xj , . . * . Il faut donc que ce soit

dfn\ dXn )

qui s'annule identiquement, c'est-à-dire que la dfernière fonc^ tiony„ doit pouvoir s'exprimer indépendamment de a:„ , au moyen de/ij/i j. , .,^i seulement. Mais il peut aussi se faire que x^^x et x„ n'entrent dans aucune des deux dernières fonctions, après que Ton a exprimé la variable x^ au moyen de/i, a:^ , . . . , jc:„ ^ la variable x^ au moyen àef^^f^ , Xs. . . ,j:„,. . . , et enfin la variable Xn^t au moyen de y,, . . . , /n-sj ^n i9 ^n* Dans cc cas, la quantité

doit aussi s'annuler identiquement, c'est-à-dire que chacune des deux dernières fonctions y),i^ y^ doit pouvoir s'exprimer indépendamment de jj^„i, jr„, au moyen de yi,^j , . . . ,yV-2 seulement. Et ainsi de suite*

Réciproquement, si les fonctions données ne sont pas indépendantes les unes des autres, mais que^^, par exemple, soit exprimable en/i,/^, . . . , fn^ seulement, sans j:„,

alors ( — " j est idetitiquement nul, et par suite il en est de

même de R* '

Cas particuliers i — Si /i, /i,. .. ,y„ sont des fonctions linéaires de Xi, Xj, . . . , x„, le déterminant de leur système ne diffère pas de celui des équations linéaires (§ IX, 1)

Jx ^^^= ^ij Ji ^^^ ^-ly • • > Jn ^^ "«•

Il6 SECONDE PARTIE, ^ XIK.

Dans le cas où ce déterminant s'annule, Tune des fonctions données est exprimable au moyen des autres, en vertu d'une équation linéaire de la forme

Cx fx -t- r,/a -h . . . -f- r„/, = a,

et les équations données ne sont pas indépendantes entre elles (§ IX, 2).

Si fi^ ftf. .. ,fn désignent les dérivées partielles d'une fonction F, le déterminant fonctionnel R n'est autre chose que le déterminant des dérivées partielles du second ordre de F, et a été appelé par Hesse {Journal de Crelle^ t. XXVEQ, p. 83), pour abréger, le déterminant de F. Le même déterminant fonctionnel! a été nommé par Sylvester [Cambr. and Dublin math. Journal^ t. VI, p. i86) le Hessien (Hessîan) de F. Lorsque, en particulier, les dérivées partielles de F sont liées par une équation linéaire de la forme

ryfx + c^fi -4- ... H- c„/, = o,

le déterminant de F s'évanouit identiquement; et parla substitution linéaire

*n= ^«,1 Jl -h . . . -h bn,n^x /n-iH-C« Xn%

F se change en une fonction des variables /i, j^t, . . . yjn^it à cause de

—. — =/î -. h . . . -\-fn -J— =" C, /, -h . . . -+- €„/„ = 0.

f^o/> Hesse, Journal de Crelle^ t. XLII, p. 117.

4. Soit U une fonction donnée des quantitésyi,yi, . . . ,/„, chacune de celles-ci étant une fonction donnée des quau-

APPLICATIONS DES DÉTEUMIfiAIiTS. I I7

ihés Xi, Xs, . . ., x„'j soit, de plus, R le déterminant fonctionnel

yij • • • Ji,n

Jn,\ • • • Jiùi

JL'intégrale multiple

est égale, en valeur absolue, à Tintégrale

les limites des nouvelles intégrations devant être déterminées au moyen des limites données des intégrations primitives (*).

Démonstration. — Considérons d'abord, comme cidessus,

fx comme une fonction de Xy^ jt, , x^ , . .' , x„ ;

j2 ue y I , OTj , X3 , . . • , .r„ ;

Jz ••.... cle y I , /j , 0^3 , ... , x„ ;

jn *^e y I , y 2 , . • . y «— 1 > «ï^n 9

et distinguons les dérivées partielles des fonctions transformées en les entourant de parenthèses : on pourra introduire successivement, comme il suit, les nouvelles variables dans Tintégrale dpnnée.

En commençant par intégrer par rapport à^^, il faudra

(*) La transformation d'une intégrale multiple a été effectuée pour la première fois par Euler, 1769, Nov, Comm. Petrop,, i4f I» p* 7a* Peu de temps après, Lagrange ( Jl^moirei de l'Académie de Berlin, 1773, p. i'j5]a traité la transformation d^une intégrale triple par une méthode applicable au cas général. La transformation d'une intégrale multiple en général est due à Jacobi {Journal de Cretle, t. Xlf, p. 38, et J)et. Junct.^ $ 19)-

tlS SECONDE PARTIE, § XIII.

remplacer la différentielle df^ par ( -^ ] dx^t pour introduire, au lieu de la variable y», la variable x„. On a d*après

reia

En commençant le développement de cette intégrale transformée par Tint^ration relative a f„^i , on devra remplacer d/n i par f "^' j //x„, , pour introduire, au lipu de la variabley],i, la variable x„, , ce qui donne

En continuant ainsi, on obtient firtalement

Mais le produit des dérivées artificielles qui supposent les transformations ci-dessus, n*est autre chose que le déterminant des fonctions données y,,yi,. . . ,y„ (2).

5. On parvient à la même r^le en poursuivant )a mér tliodeque Lagrange a employée (/. o.) pour la transformation d'une intégrale triple.

fi'ifit ' ' "> fn étant des fonctions des variables

on a le système des équations linéaires

APPLICATIOINS DES DÉTEHMJt^AIMTS. 1 I9

La résolution de ce syslime donii^ (§ IX, i) en posant

y n, I • • • Jn.n

et désignant par y,,* le coefficient de /i,*, c'est-à-dire de ^

dans R„ , de sorte que, en particulier, ç„,„ = R„», (S^'^î ^)* Soit maintenant

fud/,df,..,dfn

rintégrale multiple à calculer, et U une fonction donnée de/i,/,, . . . , fn. Si, dans la suite des intégrations à effectuer, on commence par l'intégration relative ày„, on a à chercher la somme delà différentielle Udfn9 avec la condition que ^i,/,,. .., y^, restent constantes. D'après cette condition, on a, dans le système précédent d'équations linéaires,

^ = 0, rtf/2 = o,..., ^//„., = 0, et par conséquent

de sorte tjue Ton peut remplacer /3?jr„ par — — dx^- On a

par conséquent

j Vd/i, . . d/„= j U —^ «(/,... r//«^, r/.r;,,

les limites de j:„ devant être déterminées d'après les limites données de^J,. Si l'on commence le développement de Fin-

laO SECONDE PARTIE, § XUl.

tegrale ainsi transformée par Fintégration relative à la variable /„i, on a à chercher la somme de la différentielle

U :^-^ 4^„«i ,/i,/t, . • . ,y«-t, Xn restant invariables. Mais on a, dans cette supposition,

<(/'i=o,..., 4/»«, = 0, rfx„ = o,

et par suit^ on a le système de n— t équation^ linéaires

Qn en tire, comme ci-dessus,

de sorte que l'on peut remplacer ^,«1 par — ^ ^n-M et

u ^-4- 4/^^i P^ï" u 5-^ dXn^x* On a donc, en prenant des

limites convenables,

L'expression qu'on vient de trouver pour Fintégrale multiple cherchée peut se transformer par des considérations analogues, en remplaçant, en vertu d'un système de ra — 2

équations linéaires, dfn^t par — =^ dj?„j , ce qui donne

i U g-^ fi?/l . . . dfn^^dXn^x dXn

= / U =r^ df^. .. df^^ dx,^2 dx^, dxn ;

t/ JRn-3

APPLICÂTIOHS DES DÉTERMINAJ!«TS. 121

et ainsi de suite. On trouve enfin, de la même manière,

en commençant par intégrer relativement à f^^ ejt remplar çant, en yertu de$ conditions

dx^ = o , dx^ = o , • • • 7 dxn = o,

la différentielle dfx par-^ dx^^ c'est-à-dire par Bi^^if

^r ^î f\ 9 f^t r • • 9 y)i 1^6 s^i^t p9s^ données immédiatement en fonction de Xi, Xs,. . ., x„, mais en fonction des p quantités yt, j^j, . . . jj^p, lesquelles sont des fonctions données des variables Xj, Xty • •, a:„) on trouve leur détermir* nant fonctionnel de la manière suivante (^). On a, par* hypothèse,

^ . ^ ^ f(/V ^fc dfi dyp

dxk dXi dxk djrt dxt " ' d/p dxk

et par suite

en posant

Si Ton désigne par P, Q les déterminants des éléments a, i, et par R le déterminant cherché des éléments c, on a (§ VI, 1), pour^<^7ï,

c'est-à-dire que, si les. fonctions données peuvent s'exprimer au moyen d'un moindre nombre de fonctions des mêmes variables, le déterminant fonctionnel est identiquement nul, comme on pouvait s'y attendre d'après le théorème (3).

' ' ' ■ ■■ ■ ■ .1 . 1 ■■ I .1 I I » » ■ ■ . j ■ —» ^ ^ Il II

(* ) jACOBtj Det. funct., § 1 1 .

Si ^ = /i, on a R = PQ, c'est-à-dire

dx^

dx..

dxx

dx.

df, ày.

df.

df, dy.

dy^

dxf

dy^ dx.

du dxi

Si /!?}>/», on a R = Z PQ, c'est-à-dire

dXi

dM di„

dfn dXi

dx.

df dj^

dyr dy,

df^ df,

dy, dy.

dxt dy^

dXy

dfn

dx,

dyr

dxi

dy.

Il ■ I

djç^

Les termes de cette soynme s'ohtiepneDt en prenant, pour le système r, 5^ . . . , toutes les comUnaisons de n indices pris dans la suite i, 2,. . ., /?.

7. Si/i^Jj, . . . , y], ne sont pas données explicitement en fonction de Xi, x^,. . ., a:„, 'mais implicitement, par la condition que n fonctions ^j, f,,..., f„ des variables fi^fi't' • -î/n^ 3:,, jc,,. . ., x„ s'annulent^ on a

df, df d:r, dx.

d(ft dif^

-^— • • • ... - .1 dx^ dr^

dx^ dXn

d<f, dif, df, '" df,

d(f„ d<f, df df, ^

dfn df,

dxi dx„

Démonstration, — En vertu des équations donaées

«p, =0, yj=o,..., y^ = o,

chacune des quantités /i, yi, . . ., y» peut s'exprimer au moyen des quantités Xi, Xg, . • • ? «^^b* En substituant les valeurs trouvées dans l'expression ç,j on obtient l'identité 91 = Q, et en différenlianl celle-ci par rapport à Xi^ \l en

( * ) Jacobi, Dct . Junct .,§10

APPLlCiTIOKS DBS ÇÉTBRMÏlSAJSTS .

résulte ridentilé

c'est-à-dire

Ci,k = bi,l ^\,k H- . . . -+- /^./l f^n,h ,

en posant

df]fi drSfi

En désignant les déterminants des éléments c, ft, « respectivement par T, S, R, on a (§ VI, 1)