R et S ayant la signification ci-dessus, et les coeffi
(•) Jacobi, f>et. funct., § 8. -- Voir Moebuts, Soumulde Crelle^ t. XII, p. n6.
SBCONUE PARTIK, ^ XIII.
cients de -7-^ dans R et de -— J dans S étant désignés par dxk dfk ^ ^
ofi,*, /3,-,*, on aura (*)
dxj oij ^f^ ^k,i
d.T, dXy I df^, lîf^y
^« • • * ■■ - ■ 1 ■■ ■ » ■ ft > «I ■■■■■»■■
df df„
«te»
dx^
df,
df.
df\
df.
dXi
dJr.
df„
df.
dx^^ dx
dxx dx.
r/a»^, dxn
dXgf^i dXfn^X
dfm-^x dfn
dx.
dx.
dfm^, dfn
Démonstration. — D'après les notations employées (9), on a
Multipliant ces identités respectivement par et faisant la somme des produits, on a (§ III, 1)
On a de plus (S VII, 2)
ûtm,t • . • ^m,m.
^mH-i.m-t-i • • • **n-l,«
( * ) Jacobi, Det . funct . , §§ 8 et 9 .
APPLICATIOISS DES DÉTERMIINAINTS. 1 27
En subsliluant les valeurs que Von vient de trouver pour «1,19- • • 9 «mjfhî le premiçr membre devient (§ III, 2)
d'où résulte la seconde propriété énoncée. Les autres propriétés résultent de celles que l'on vient de démontrer, en échangeant simultanément /' avec x^ R avec S.
H. En dés^ignant par t une quantité dont f\-, f^-i^ * - -» fn dépendent suivant une loi donnée, on peut former
df. df, dfy
dt dt , dt
Les quantités Xi, Xs, ..., a*„, qui entrent dans ces quotients différentiels, peuvent s'exprimer au moyen de^i, ft-^* . .<,fn^ et alors on peut différentier ces quotients différentiels suivant yi, /s,- . . . Le déterminant fonctionnel R (9 et 10), qui était d'abord une fonction de jCi, Xs, . . . , j:„, peut s'exprimer au moyen de /i, /s, . . . ,/!», et alors on peut le différentier par rapport à t. En désignant, d'autre part, par u une quantité dont Xi, Xj,. . ., x„ dépendent suivant une loi donnée, etc., on a, d'après les notations admises ('^),
,dfx ,df^ ,dfn
r/logR dt dt at
rf/ ' # n/,.
(*) Jacobi, Det . Juftet . y ^ 9. — Voir Jacobi, Journal de Crellcy t. XXVII, p. Q09.
138 SKCOftDE PARTIE, ^ XIII.
pareillement
d\oaS du du du
du </x, dxi dXi
dxi dXi ox,
' On a en particulier (*)
djCi dxi djt^
Démonstration. — D'après le § III, 10, on a
-di = 2é''-''dr' '
et d'ailleurs (iO) et
di dtdxk
Mais on a maintenant
d'fi dx, d}fi tlx-, d}fi llXn dt
dt dxx dfi lit dx-i dfi dt dx„ dfi dfi
et par suite
rf^ d'^
i/R içs dt €/IogR ^ dt
Tt'^ 2à'df;' ~dr^Znf,*
(*) Jacobi, Journal deCrel!e,i. XXVIf, p. 2o3,
On a, déplus, RS= i (9) et' par conséquent
logR -h logS = o, et
dt ^ ^ d/i
Le déterminant fonctionnel S étant une fonction des quan* tîlés yi, y*,, . . . , y^5 qui renferment la variable f , on a
dS__d^^ dSdf, £S^
dt" ^ydt'^ df.dt'^'"'^ df, Tt'
Si Ton joint à cela que
d^df, . g „- ^
4 ^Ki)
on obtient la seconde des identités que nous avons posées. Les identités analogues s'obtiennent par Téchaiige simultané de «, /, R avec m, x, S.
Si en particulier f = X;i, on a (10)
df,
12. Si Ton désigne par X, Xi,. . ., X„ des fonctions données de a: , Xi , . • . , a:„ , par / une fonction indéterminée des mêmes variables, et que Ion pose
si l'on désigne de plus pary*,,yi, . . . , y^, n solutions indépendantes entre elles de Péquation linéaire aux différen«tielles partielles ^ (/) =^ o , de çorte que ^ (/i), ^p (/s), . . ., ^ (y») s*annulent identiquement, il existe un multiplica-
l3o SKCOKDC PA1KT1E, ^ XII t.
teur M, au moyen duquel ^(f) devient le détennhiant des fonctions /y /%,- - -^ fn^ c'est-à-dire qu'on a
d/ df df
dx dxy dx^
df, df, df,
dx dx, dx^
d/n df, df,
dx dXi iiXft
et l'on a, en désirant par i un indice quelconque, et par A, le coeflScîent de -r- dans le déterminant fonctionnel •
dXi
