MA

OU, ce qui revient au même, M est une solution de l'équation linéaire aux différentielles partielles

dx dx^

En effet, du système des équations linéaires

dx AT,

dx„

^ d/^ aXn

o = xf + X.f" +

dx dXx

il résulte (§ {X, 1)

R désignant le déterminant du système linéaire, et A, le

(*) Jacobi, /«■riMt'tfe Creffe, t. XXTII, p . 310.

APPLICATIONS DBS DÉTERMIM ANTS. l3l

tlf

coefficient de -7- dans R. Si Ton fait maintenant

A, = MX,-, on a (ii)

rf(MX) , rf(MX.) . , û^(MXJ

Remarque. — La fonction des quantités x, Xi,. . . , x„, désignée par M, a été nommée par Jacobi (/. c.) le multiplicateur de Téquation aux différentielles partielles

OU de Téquation aux différentielles partielles

djc dx

i*X{ . dXn

ou du système d'équations différeniielles ordinaires

parce que la résolution de ces équations aux différentielles partielles et celle du système d'équations différentielles ordinaires sont étroitement liéesentre elles. Soient, en effet, t: une solution de l'équation ^ [f) = o, et a: une fonction de Xi, Xt,. . ., Xn9 déterminée en égalant tz k une constante arbitraire : on a

diz __ diK dit

o =X-; hX, 3 h • • • -hX„ 3—,

ax aXx aXn

dit dit dx

dXi ' dx dxi

dit dit du ^ ^ dx ^ dx ^

dx " dXi * dx2 ' dx^ dx^ '

et par suite

dx dx

dxi dT„

o =: X — Xi -7- — • • • — X„

Soient, d'autre part, /i, ft^- - -, fn des solutions indépendantes entre elles de l'équation ^ (f) =± o : en égalant ces

l32 SECONDE PARTIE,. § XlV.

solutions à des constantes, on a

<^ , df , df, ,

ax axy ax^

et, par la résolution de ce système linéaire, il vient

ttJT , AJCx . dx^ , . • • ^-!1 A « A| • Aj •• . • •

§ XIV. — Théorèmes sur les fonctions liomogènes.

i . Soit u une fonction homogène, de degré m, des variables Xi , X, , . . . , x„ : en désignant — par if^, on a, par le théorème d'Euler (*),

mu = Ml j?! -f- ... -+-'/« x,f .

En appliquant le même théorème aux fonctions homogènes Ui, lis, ••«) ^6 f^ — I dimensions, et désignant

- — -7— par i/,,t, on a le système d'identités (**)

(//I— l)«„= li^^nXi 4- . .. -f- M|,,«X„.