D'après les notations adoptées, on a

m (m— i)u =z^XiXkUi,k {*** ),

I et Xr devant être égalés successivement à 1,2,..., n.

(*) Mec/wmcfl, 1736, t. Il, §§ 106, 497. — Caic. rf//., §225. (*») Hesse, /oHrnfli <fc CreWc, t. XXVIH, p. 78. { **» ) Lacroix, Cslc ."di/f, , § ^i .

APPLICATIONS DES DÉTERMIlfANTS. l33

Démonstration, — En multipliant les identités ci-dessus respectivement par Xi, Tj, . . . , x», et les ajoutant, on trouve, pour second membre, la somme en question, à cause de

d^u d} Il

dxidxk cixkdxi

y i*i,k=f^k.ij

€t, pour premier membre, m (w — i) m, parce qu'où a (1)

Wf^i

Un x„ = mu .

Remarque. — Si l'on exprime à leur tour les dérivées partielles secondes de la fonction homogène au moyen de ses dérivées partielles troisièmes, on obtient, pour la fonction homogène, la somme des produits de ses dérivées partielles troisièmes, multipliées par les variables par rapport auxquelles elles sont différentiées ; et ainsi de suite. Toutes ces décompositions d'une fonction homogène s'obtiennent^ comme l'a remarqué Serret [Algèbre super, ^ note XII), en multipliant les variables par i +C(>, et par suite la fonction homogène par ( i -f- &))'", et développant Tidenlité

par rapport à co , à l'aide du théorème de Taylor.

3. La résultante du système de « 4- i équations linéaires identiques, donné au n^ 1 , est (§ IX, 3)

u Ui , . . u„

Ux Uij,., tf„,i

f^n f^{,ii' • • ^^n,n

en supprimant le facteur m — 1 dans la première ligne verticale d'éléments (§ III, 2). Le déterminant de degré 71.-1- 1 qui compose le premier membre, peut (§ III, 3)

l34 SECONDE PARTIE, §XIV.

être cx>o5idéré comme la somme des déterminants

n Ui . . . u.