Du système linéaire

H-Wi .r,-f-. . .-!-«„ .r„ = o,

il résulte, d'après le § IX, 3, et en ayant égard au § VU, 5, qu'on a la proportion

(I) — (ot— i):x. :.r, tx^: ...= s/'^': V^:>/p^:V^:-..,

en désignant respectivement par u^ |3,, f3,^ji les coefficients

ï w» 9 ^U,k dans le déterminant, de degré n + i ,

Ml ... </.

'ii /i|,i . . . le

'*/< W|,M • • • '*IJ,Ji

On a, en effet,

R=o(3), PM = P*,i(Sin,8)>

' ^/p,• ,0 = p, , s/p,., p*,* = p,,* (§ VII, 5), etc.

Par conséquent, si un quelconque des déterminants partiels premiers, de degré n^ du déterminajit identiquement nul R, s'annule, alors les autres déterminants partiels premiei*s de R s'annulent aussi identiquement, et il en est ainsi en particulier pour v\ et réciproquement.

La proportion précédente nous apprend que

- ^' = ^/hi = ihit^

l36 SECONDE PARTIE, § XIV.

Or on a

par conséquent

(II) p,= --^i., p,,j=^Lf» .(»).

5. Les relations que nou3 venons de démontrer soi^t d'une grande utilité dans la théorie de la courbure des lignes et des surfaces. Soit y une fonction des coordonnées rectangnlaires x^y d'un point ;/*= o sera Féquation de la ligne suf laquelle se trouve le point (x^y). En posant, de plus,

on sait que

est Féquation de la normale à la ligne (/*= o) , menée au point [x^y) de cette ligne, | , m désignant les coordonnées d'un point quelconque de cette normale. En posaut *

et différentiant complètement ces équations, il vient {œ^l)d\-^\dx==df,, [y--^)d'k^\dx=idf,,

fi -T- :=:df,-^\dXy /, — =:fl[^— Xéf^,

( * ) Cela s'accorde avec les relations établies par Hesse^ Journal de Nielle, -t. XXVIIl,p. io3,ett. XXXVIII, p. 24a.

APPLICATION s DES DÉTERlftlIlAMTS. 1^7

poi^ la normale à J» ligne (/ = o) , au point

laquelle a de commun avec la première normale le point ( $5 ^) 9 c'est-à-dire le centre de courbure de la ligne ( /== o) au point (x^y). Des équations

o =r /, r67 4- /, djr,

/i T- = (/Il — >0 fl^j? -H /i2 cÇr )

/j, ^j7-h [f-n — ^)dy^

il résulte (§ IX, 3) l'équation

fi /.i — À/„

pour la détermination de \, En développant cette équation d'après le § V, 2, on trouve/*! -f-/^î pour le coefficient de \ ^ et, pour le terme indépendant de \ ,

On a par conséquent

Enfin, on a, pour le calcul du rayon de courbure, que nous désignerons par p, la formule

et pour la valeur de la courbure,

l38 SBCOBDE PAUTIE, ^ XIY.

Le délermiuant L est plus facile à traiter lorsque la fonction à laquelle il se rapporte est homogène. En désignant par u la fonction homogène des variahles Xi , Xt , Xs , qui devient identique avec/ pour x, = i , on a (4)

o «, Ui

a, «„ tfî2

en posant

"il «t» «13

et faisant Xs = i après la dîlierentiatîon.

Les points de la ligne (/= o) ou (u = o), pour lesquels L ou 1^ sont nuls, et par suite la courbure nulle, sont en général des points d'inflexion de la ligne. Ils peuvent être considérés comme les intersections de la ligne (y*=o) ou(u = o) avec la ligne (L=:o) ou (i/ = o). Or y et u sont, par hypothèse, du degré m, tandis que 1^ est du degré 'i(ni~7,)\ par conséquent les lignes en question ont en général 3 m (m — 2) intersections. Donc une ligne de degré ma en général im{m — 2) points d^ inflexion (*).

6. Si / est une fonction des coordonnées rectangulaires X, y y z d'un point, /*= o sera Téquation de la surface sur laquelle le point (x, y^ z) est situé. Alors, d*après les notations précédentes, la proportion

représentera les équations de la normale à la surface (y=o)

(* ) Ce théorème a été établi pour la première fois par Pliicker {Syst. der Analyi. Geonr., p. 26^). La démonstration que nous donnons ici est due à Hesse {loc. cit.). Jacobi a donné une autre démonstration (Journal de Qellry t. XL, p. 7h'\).

APPLICATIONS DBS DÉTERMlMlNTS. ijp

pour le point ( jc, y, -z) , et Von pourra remplacer ces équations par

X(.r-Ç)=/., \[x-'n)^Ay X(3-g=/,.

Les normales à la surface (f=o)^ menées aux points [Xy y y z) et (:p -4- dx^y -f- drf^ ^H- rfz ) , ne se coupent pas en général, mais seulement dans le cas où le second de ces points est situé sur une des lignes de courbure passant par le poit|t (x, j^, z). Leur intersection (S»'''»?) est le centre de courbure d'une des sections principales de la surface faites au point (x,;^, z). En diiFerentifint les équations précédentes, on trouve dans ce cas

(x — Ç) rfX -h Xd!a: = rfy, , etc.,

ou pncor^

— \dx.

f ''^ - df

- \dt.

et par conspuent (§ IX, 3)

/ ilf, dx

A JÂ dy

/a rf/3 <k

Cette équji^tiou différentielle, jointe avec Téqualion différentielle de la surface donnée,

détermine la ligne de courbure passant au point (j:, y, «) et sur laquelle est situe le point {x-\'dx^y -^dy\ z-k-rlz).

l4o SEGOADE PAHTIE, § X^V.

Du système des équaiions

o = /, d.T -H/, dy -1-

fr^={f,,-\)dx +/„dy +

/ndz.

/, 4^ - Adx 4- (/„->) dy H-

fiidz,

/, ^ = /„ rfx + /„ rfj- + (/.

-•k)dz.

il résulte, pour déterminer X, l'équation

yij jii "

y 13 yj3

Cette équation est du second degré, et A* y a, pour coefficient, — f] — fl — fl , tandis que le terme indépendant de X est

y I y M /i-i y 13 y 2 y ij /2i y 23

ya /i3 y 2.1 ./:».!

En désignant par 1', V^ les racines de cette équation, on a

vr =

En appelant enfin |9 la dislance des points (?,>!, t), (j^»^î z)» il vient

f = {x — iy+(y-r,y + {z-Ky,

xp=v'/î-i-/î+/;.

APPLICATIOJ^S DES DÉTCRMINAITTS. l4l

Par conséquent, p a aussi deux valeurs p', jo'%- telles que

Les valeurs réciproques -71 —? sont d'ailleurs les ,cour-

bures des lignes de courbure passant par {x^y^ z)^ ou des sections principales de la surface auxquelles elles sont tangentes. Le produit des courbures piincipales delà surface (f==: o) au point (x,j^, z) est donc

Si Ton désigne par u la fonction homogène des variables ^1, Xj, Xs, X4, qui devient identique avec f pour 074=: I, on a (4)

U2 Uxi U2Î Ui:^

/l;j Ui^ U-22 ^^33

Les points de la surface [f=o) ou (m = o) pour lesquels L ou 1^ s'annulent, sont en général des points d'inflexion de la surface. Us sont situés sur rintersection des surfaces (f= o ou 11 = o) et (L = o ou i^ = o). Or y et u sont, par hypothèse, du degré m, tandis que u est du degré 4 (''^ — ^)* Donc la ligne d'inflexion d^une surface du degré m est située en même temps sur une surface déterminée du degré 4 ('» — 2) (* ).

7, Des identités données au n** i, Jacobi (**) , à l'occasion d'une proposition qui lui avait été communiquée par Hesse, a développé le système suivant d'identités relatives

(*) Hesse, hc. cit.

{**) Journal de Crellc, t. \L, p. 3i8

l4a «EG01II9E PARTIE, ^ XIV.

audëterminaiilclonl il a été plusieurs fois question

tt,,„ ... a

On a d'abord (§ IX, 1 )

fi*i=(w— l)(ai,,tt,-h . .. -«-«.,,•«»),

oLn = ak^i désignant, comme ci-dessus, le coefficient de Ui t = Mi,, dans u. En difTérentiant cette identité par rapport k Xi ou à x* , et posant, pour abréger,

djct

il vient

p,.jri= (m— i) l"^"'-^-

puisqu'on a (§ III, 1 )

dxk

Par une nouvelle diderentiation des identités trouvées, et en posant

d^v dxk tlxi

on trouve

(ni)

, . / £^«1 ,• dttm i\ , V

APPLICATIONS DES DÉTERMINANTS. l43

en ayant égard aux identités

«l.i «1,1 -+•...-+- 9.n,i U„j Z= if, «l.i »!./ -h . . H- Oin,i U„j = O,

différentiées par rapport à x^,

8. Le système des valeurs des variables Xj, Xj, . . .jX^ par lequel on satisfait aux équations, en général incompatibles,

«, =: a, «2 = o» • • • > «ft = o,

a pour conséquence d'annuler les fonctions u et %^ (i et 7, 1), ainsi que ^i ^ Vt , . • , t^» (7, II) . Le déterminant

il,l

formé avec i^ comme l' l'est avec m, s'annule pareillement, Des équations

il résulte d'ailleurs (§ IX, 3, et § VII, 5)

X\ \ X^ \ ÛS:^ \ , , , =Z Y «1,1 t \(X>7,'i ' V*3*3 • • • • 9

en désignant par «/,* le coefficient de i/,-,;i dans i^. On a, par suite, à la fcMs

N étant invariable pour tous les indices. Faisant ces substitutions au n** 7, III, on a

Vi,k X,- =: — ( w — i) N j:,- 1 -r, -; h . . . -h a'„

\ ' dTi

dXn / '

l44 SECONDE PARTIE, § XtV.

c'est-à-dire (1) et par conséquent

^'ii • *'i2 • • • • • *'a3 * • • • - — ^\i » Un • ... I Wj3 , . . . i^ j.

9. La fonction homogène du degré m, lorsqu'elle est rationnelle et entière et que ses coefficients sont entiers, s'appelle une forme du degré m (quadratique ^ cubique, etc.) de n variables indéterminées {binaire y ter-tiaire, etc) (**). Une forme quadratique (que Ton appelle souvent simplement ua^ forme) peut se représenter par

une forme cubique, par

J^^i.k,i Xi Xk Xs (***),

/ , ft, / prenant toutes les valeurs, depuis i jusqu'à /i, et les quantités a^^^i, at^i^i ne changeant point lorsqu'on intervertît leurs indices. Par déterminant d!une forme qua^ dratique, on entend la valeur, prise négativement, du déterminant formé avec le système des coefficients (****). Ainsi, en posant

(*) Hesse, Journal de C relie, t. XL, p. 3i6. — Voir Jacobi, loc, cit.

{**) Gauss, Disquis, ariih.j art. i53 et 266.

(*** ) Voir Hesse, Journal de Crelle, t. XXVIII, p. 74.

(****) Gadss, loc. cit. y art. iS4 et 2(17.

— R sera dit le déterminant de la forme u = ^i^'?^ •'' ^f--

Le dëyeloppemen t de ce déterminant résulte du § V, 2. En désignant par a^-^ le coefficient de a/^t dans R, la forme quadratique

est dite Isl forme adjointe {forma adjuncfa) (*) de Ja forme donnée ii. On a (§V, 2)

or, ... Xn

Xx "m • • • ^i,n • •*■•.•«••••.

Jn ^ti,l • * ■ "n,n

On a de plus (§ VII, i)

c'est-à-dire que le déterminant de la forme adjointe est la puissance (n — ly**"* du déterminant de la forme proposée. D'après le § V ^ 2, on a

O tt^{ • • • *^n

JT, a,,i . . . «!,„ •^n *ft,i • • • *«.«

A,,< désignant le coefficient de a,,^ dans 2) ± «1,1 • • «//,«•

( *) Gauss, toc. cit.f 267.

l46 SECONDE PARTIE, § XV.

Or on a A/,| = R"~' a,^^ (§ VII, 3) ; par conséquent.

J^ii

Remarque. — Si la forme u est quadratique, ses dérivées partielles seront linéaires ^ par conséquent, le déterminant des dérivées partielles secondes de u (§ XIII^ 3) , de même que le discriminant de u (§ XII, 12), ne différeront que par un facteur numérique du déterminant de cette forme quadratique.

§ XV. — Des substitutions linéaires, et, en particulier,

des substitutions orthogonales,

1 . Lorsqu'il s^agît de transformer une fonction donnée des variables arj , Xt , . . . , a:„ en une fonction des variables

ri , yj , . . • ,^«9 au moyen des substitutions linéaires

^'n = bn,^ Ji "h ^n.i ^2 ■+"

le déterminant des coefficients de la substitution ,

s'appelle le déterminant (modulus) de la substitution linéaire. Ce déterminant doit être différent de zéro, si jCi, .Ts, ..., x„ sont supposées indépendantes entre elles (§IX, 2^ §XIII, 3). La substitution linéaire est dite

(•) Brioschi, Oer. (53)

APPLICATIONS DES DÉTERMfNÀlNTS. 1417

unimodulairc (*), lorsque son détermioaiit esl égal à Tunilé.

2. Si les fonctions linéaires /j ,/8, - - > y fn des variables Xj, Xî, . . ., x„ sont transformées, par une substitution linéaire, en des fonctions linéaires des variables ^o Jî > • • • yjn > le déterminant du système des fonctions transformées ( § XIII, 1 ) sera le produit du déterminant du système des fonctions données par le déterminant de la substitution linéaire (**).

Démonstration, — Soient

les fonctions linéaires données. Par la substitution li-

néaire

•^t — ^1,1 ^1 ~+" • • • -H ^l.n Xny

on obtient les fonctions transformées

Jn ^n,\ Xx "t" • • • ~T" *^n,H Jn

On trouvera Ci^i en multipliant .Xi , ^s» • • • > J^n respectivement par a,^i, a^^j, . . . , «,-,„, faisant la somme, et prenant dans cette somme le coefficient dej^;;,

(* ) Sylvester, Cambridge and Dublin Mathemaiical Journal, t. VII, p. 62. (**) Vo/r la démonstration algébrique de la règle de multiplication (§ VI), par exemple, dans Joacliimstbal, Journal de C relie, t. XL, p. 22.

l48 SECONDE PARTIE, § XT.

Par le S VI, 1, on a

«1,1. . • rt

É'il.l • • • ^ll,Jl

3. Etant données les équations algébrîques/(i:) = o ec (j)^x) = o, de degrés m ef /i respectivement, si parla substitution

on les transforme dans les équations

et que Ton désigne en outre par R = o la résultante des équations données, et par R' = o la résultante des équations transformées, on aura

Démonstration . — En admettant que aj , as , . . . , a„, désignent les racines de réquationy(j:) = o, et Pi , P» , . . . , p„ celles de l'équation 9(x) = o, on a identiquement

f[x) = ûr«(ar — a, ) (a; — aa) . . . (jr — a«), et par suite

(") Jacom, Journal de Crelle^ t. XL, p. 245. -^ Salmon, Higher plane curvcs, p. 095.

APPLICATIONS DES DÉTERMINANTS. l49

La résultante des équations

„"/(!) =o, et «>(l) = o

est, d^mème que la résultante des équations y*(j:) = o et (f (x) = o, d'après le § XI, 1 ,

^i — fik étant évidemment le déterminant des fonctions linéaires

i — a,«, t — ^it«.

Par la substitution linéaire

iizzzpy-^p'zy

ie déterminant det — a,M et de f — jS^a se chauge (2) en

(«*— P*)(/^7'-/>'7), et par conséquent

est la résultante des équations transformées

Remarque. — Si Téqualion / (x) = o est transformée, par la substitution

py -4- qz

X rz

p' y -hq'^

l5o SECONDE PAUTIE, § XV.

en la suivante

on trouvera, en procédant de la même manière, qud le déterminant de l'équation transformée se déduit du déterminant de Féquatîon proposée (§ XII, 9), en multipliant par

(pq' — p' q)"'^"'''^\ parce que TT (a, — ai) est un produit

de ni [m — i) différences qui peuvent être considérées comme des déterminants de fonctions linéaires.

4. Une fonction f des variables jC,^ :Cs, . . . ,j:„ étant transformée, par une substitution linéaire, en une fonction des variables j^i ,y^ > • • • > ^o > le déterminant de la fonction transformée est égal au produit du déterminant de la fonction donnée (§ XIII, 3) par le carré du déterminant de la substitution linéaire (*).

Démonstration, — Supposons la fonction /'transformée par la substitution

•^'„ = ^,M Ji -f-

a alors

d'f dndXk

dXidx,

dx^

dyk

dyidx^

dxn

d\f dyidx,

bx,k

dyi eir„

bn,k,

{*) Hesse, Journal de Crellc, t. XXVIIl, p. 89. Le cas où la foncliony est qiiadraliquc a été trailé, pour n = 2, par Lagrange (Mémoires de V Académie de l)erlin, 1773, p. 285), et pourn = 3, par GAUhs{ Distj. arilhm, y 268).

APPLICATIONS DES DÉTEUUNANTS.

et par suite (§ VI, 1 ) .

dy^ df,

d-f dyxdy.

dyndXi dxndxn]

dy, dx.

dyydx^

dy^dx, dy^dxn

On a de plus, df

df dx^ dx, dfi

dxi

dji dxk dxx dxk

df dx^ dxn dyi

. dx

K,ii

d'f dx^dxk

et par suite, comme précédemment,

rf/, dx, dyt dx.

dyndx, dy„ <&„

dûc^ dxi dxi dxa

dxn dx^ dx^ dx„

'«ji

En multipliant entre elles les équations (A) et (B), il vient '

5. Parmi les substitutions linéaires au moyen desquelles ou peut transformer une' fonction donnée, on doit partieu* lièrement remarquer celles dans lesquelles la somme des carrés des nouvelles variables ne diffère pas de la somme

l5!2 SECONDE PARTIE, § XV.

des carrés des variables primitives. Ces substitutions ont été considérées par Euler [Nou, Comm, PetropoL, t. XV, p. 75 ; t. XX, p. 5^17) 5 par Cauchy [Exerc, fie^Math,^ t. IV, p. i4p) 7 par Jacobî [Journal de Crelle, t. XII, p. 7) 5 par Cayley (^Journal de Crellç^ t. XXXU, p. 1 19), et d'après une remarque de ce dernier auteur, elles ont reçu le nom de substitutions orthogonales.

Si la fonction donnée dépend des variables Xi^Xtf . . * jX^^ et qu'on la transforme, par la substitution linéaire (ortjiogonalç)

'^H —^ ^n, 1 J'i "1 • • • "T" f «,n Xn >

en une fonction de^j , j^j , . . . , y„, de sorte que Ton ait

les coefficients jouiront des propriétés principales suivantes.

I. Pour toutes les valeurs de i et de A, depuis i jusqu'à /;, on a (Euler)

*^i,iOi,k-hC2,

iCi,f+- • •

cause

ridentité

+xl + -

II. Pour transformer la fonction transformée dans la fonction proposée, il suffit , (Cauchy) de substituer les" valeurs

■IIONS nui DÉTERMINANTS. l53

En eflet

«'i.jJ^i -t- . . - -t- (■„,,■ a^. ^ J-, (0,,,C,,, ■+■ . . . + Çn,(C„,', ) -1- . . .

le coefficient de y^ ayant pour valeur l'unité, tandîs-qac les coefficients dra autre5*i}uaiitité;ii'annu]ent (I). >

III. Le carré du délerminant d une substitution orthogouale est égal à l'unité (Jacobi). Car par la règle de la multiplication (§ VI, 3) on a

en faisant , '

Or on a d.^t = o, fl.^i cherché se réduit à soi (§11.7)