IV. En désignant par orthogonale, et par.y,,» le

Pour prouver celte identité, multiplions les identités

respectivement pary,,, , y.^i , . . . , yi^„ . On obtient, en faisant la somme,

l54 ' SECONDE PARTIE, § XV.

Le coefficient de Ci^i est e, et ceux des autres quantités

<^i,kf ' • • fÇn^k s'annulent (§ III, 1 ). '

y. Les coefficients d'une substitution orthogonale satisfont au nouveau système suivant d'identités (Euler) :

^/,i Ck,i -h Ci^i C*,j4- ... -h Ci^n Ck,n = O.

On a en effet ( IV )

s (Q,i O.i h- . . . -C/^a Cjt,, ) = 7:,, Q,, -+-...-+- 7,,„ C*,„ .

Or cette somme a pour valeur s ou zéro, suivant que / et k sont égaux ou inégaux ^§111, i ) .

VI. Entre les déterminants partiels que Ton peut former avec le système des coefficients d'une substitution orthogonale, il existe la relation suivante (Jacobi) :

•ffi-f-i, »i-hi •

iK,n

On a en effet (§ VU, 2)

^m4-«,BH-« • • • ^'m-^i,n

'ii,«+i

• ^H,ti

et, d'après (IV), en ayant égard au § III, 2,

ym,M

^1», I • • • ^ai,m

La comparaison de ces deux identités conduit à celle qu'il fallait démontrer.

APPLICAT103NS DES DÉTERMINANTS. l55

Il y a encore quelques relations moins immédiates entre les coefficients d'une substitution orthogonale, qui ont été indiquées par Euler dans le premier des Mémoires cités, et par Jacobi [Journal de Creîle^ t. XXX, p. 46).