Puisque entre les n' coefficients d'une substitution
orthogonale il existe n -\ -équations (5, l), ces
coefficients peuvent être considérés comme des fonctions de n' — n ^ = — ^ quantités indeter-
minées
Effectivement, Euler a non ^seulement indiqué le moyeu
par lequel on peut, par — ^ transform^ions binaires,
mettre les coefficients d'une substitution orthogonale sous
forme de fonctions de — ^ quantités indéterminées;
naais encore, pour les cas de n = 3 et de /i = 4? il a exprimé ces coefficients rationueIlement.au moyen des quantités indéterminées. En se servant des déterminants, Cayley (/. c. ) est parvenu à représenter les coefficients d'une substitution orthogonale servant à la transformation d'une fonction de n variables, par des fonctions rationnelles de
— ^ indéterminées.
Si Ton désigne, en effet, comme plus haut, ces indéler-
minées, par fti,?, . . . , t„.i \ si de plus, sous les conditions,
l56 SECONDE PARTIE, § XV*
on forme le déterminant
^ji.i . . ^«,11
et que l'on désigne par ^«,i le coefficient de bi^i dans B, on aura
Ci,k
J CiU =
2ft>Pi;,\ — B
pour les formules générales d'une substitution orthogonale dont le déterminant a pour valeur Tunité. Les coefficients d'une substitution orthogonale de déterminant — i s'obtiennent en changeant les signes d'un nombre impair de lignes parallèles, dans le système des coefficients qu'on vient de trouver.
Démonstration, — On peut faire dépendre les quantités Xj , a:, , . . . , Xn des quantités /i , yi , . • . » y» » en posant à ^ la fois
Xi = ft; , z, -f- . . . -f- bi^n 2« > Ji = ^i.i 2i -H . . . -h hn,i *»•
Par la résolution des systèmes linéaires
.r„ = 6„ , s, -4- . . . -f- bn,n «Il , Jn = ^i,« Z| ■+- . . -f- h„,n «« 7
on frouve (§ IX, t )
BZi=:p,.,y,
Or en vertu drs hypolhcsos /^^^ -j- i;;^, = o, i,^, = w, et des relations supposées entre .t, , )\ et les quantités s, ,
4Pt»LIC.4TIONS DES DÉTERMINANTS.
Z ^ f t * * f ^11 9 OU. a
et par suite on a à la fois
•Bj:/=2wp,-,j/, H- .. -i- (2wp,v — B)7,-4- . . . -f- 2wp/.„/„,
OU, sous uns forme plus abrégée,
fi == C,,/ J:, -i- . . . 4- <?n,i ^n
^i,nXn
De l'identité
résultent les identités
. . . -h C t « nj,i
O = C,,,- r,,i H- Cj,, fa,* -+^ . 4- Cn,i C/i,*,
qui font voir que ces fonctions rationnelles des indéterminées 6j î, . . . , 6n-i,» présentent le caractère des coefficients d une substitution orthogonale (5, I).
Désignons par e le déterminant de celte substitution orthogonale. On a alors (§ III, 2)
Pl,3 P'*3
En multipliant ce déterminant Bû)", on trouve (§ VI, 4)
eu posant
SeCOKDE PARTIE, § XV
/'-,» = h< **.. <■> + .. -h ^p,. , - ^ V*., « + ... H- p,,. bi,„ «
hi,i = p/,| A|,i w -h . .
|^-.x.(§ni, t),
Pi>« ^i,n«
ï^n substituant ces valeurs, il vient (§ III, 2)
et par suite e — i . Si enfin on donne des signes contraires aux coefficients
ou aux coefficients
^^.i9 ^2,/> • . , Cn,,,
^*,l> ^*,2>-« ' > Ck,„y
le déterminant de la substitution change de signe (§ III, I ), tandis que les équations caractéristiques (5, I et V)
Cx ,i ("x .k -h Czj C.,J -4- . . -I- c,^ . c^^ = o.
ou
a. ^I.« -f- a» f/,2 -h ... -h <^*,„ Cy,„ =
n éprouvent aucun changement
Exemples. — Pour /i = a, on trouve
APPLICATIONS DES DÉTERMINANTS. iSg
Les coefficients des diflerents éléments dans B sont
Donc les coefficients d'une substitution orthogonale binaire de déterminant i sont les suivants :
• -i-hV i-f-V
Le déterminant aura pour valeur — i, si l'on donne aux coefficients les valeurs
