Les substitutions orthogonales binaires et ternaires

équivalent, en géométrie, à la transformation des coordonnées rectangulaires. Pour passer du système rectangulaire jr, y y au système rectangulaire x', y\ en supposant que x^ y, vc',y' soient des directions situées dans un même plan, il faut faire la substitution linéaire qui a pour coeffi-

cients

cosarx', cosa:/', cos/x', cos^y.

Si Ton donne le même signe aux angles décrits par des ro- ^ tations de même sens, de sorte que

on a

xy = xx' -h x^x\ jrx' = yx -h xx\ yy' =yx H- xx' -h x' y' .

Si maintenant les angles xy et x'y' sont tous les deux = 90°, on a

cosx/' = — sin jrx', cos^'i?' = sin xx\ ces y y = cos jcx' .

Si au contraire xy = 90^ et x'y' =. — 90°, alors

cos xy = sin xj?', cos jx' = sin xx', cos y y' = — cos xx' .

On a donc, comme on le sait d'ailleurs, pour passer à uti système de même sens, à faire la substitution linéaire

cosxx', — sinxo:', sinxx', cosxx',

de déterminant i. Pour passer à un système de sens contraire, OQ devra faire la substitution

cosxx', sinxx', sin xjf^' , — cos x.r ' ,

de déterminant — i .

Ce qui précède s'accorde avec un théorème gonîomé-

APPLICAiroWS DES DÉTERMINANTS. l63

trique connu (^oir ci-après, § XVII, \ ) , d'après lequel, pour des directions quelconques x,y, x',y' dans un même plan, on a

ces XX ces xy' cosyx' cosyy

= sinjpj^sinor'j ,

d'où il suit que ce déterminant est positif ou négatif, suivant que sinoy et sinx'j' sont ou ne sont pas de même signe.

Réciproquement, des équations

cos'ara?' 4- cos^ ary =r i , cos j?j:' ces yx' + ces xy' cosyy' = o , cos*yx^ -H cos^ yj^ = i ,

on conclut que sin"a^ et sin*j:'j' ont pour valeur Tunité. On a, en effet, par la règle de la multiplication