VI

. , - , cos^x' cosj?y

sm' xy sm^ x'y^ =z -"

I cos^j:' cos^^' cos' .r x' H- CCS' xy^ , cos yx^ co$ xx' -h cos xy' ces rr'

CCS jrar' cos jj:' 4- cos xy^cosyy', cos'jx' ^eos'ry'

Pour rendre les substitutions rationnelles, il suffit de prendre les formules cos xx^ = cos* — ( i -— tang*— j j ete. et d'exprimer les coefficients de la substitution au moyen de lang J^oir 6, exemple i .

8. Pour passer du système de coordonnées rectangulaires :r,j^, z au système de coordonnées rectangulaires x^yjr\ 2', il faut employer, comme on sait, la substitution linéaire

cos xx'j cos xy\ cos xz\ cosyx% cosrj', cos^z',

COSZ.r', COS3j', coszz',

l64 SECONDE PARTIE, § XV.

dont les coefficients doivent satisfaire aux équations (5, 1), et sont par conséquent fonctions de trois quantités indéterminées. Soit O Torigine commune des deux systèmes de coordonnées, et soient X, Y, Z, X', T', TJ les points ou les directions des coordonnées positives rencontrent la sphère de centre O et de rayon égal à Tunité. Les systèmes de coordonnées seront de même sens ou de sens contraire, suivant que les triangles sphériques XYZ et X' Y' Z', ou les tétraèdres OXYZ, OX' Y' TJ seront de même sens ou de sen s opposé.

I. Deux figures sphériques étant semblables, égales et de même sens, il existe un point S, qui est à lui-mêifte son propre correspondant, et qui est situé de telle sorte que Ton a

SX = SX', SY = SY', SZ = SZ',

angle XSY = X'SY', YSZ = Y'SZ', XSZ = X'SZ',

XSX' = YSY' = ZSZ' (♦).

D'après une proposition élémentaire de trigonométrie sphérique, on a par conséquent, en désignant OS par s et FangleXSX' par 9,

cos arj/ = cos*.w -h sin' jar cos y = cos* sx[\ — cos y) -h cos ^ , cos^y =cos'jj^-H sin»jrcosy = cos*J7(i — cos y) -h cos y, cos s»' = cos' SZ -h sin' jz cos 7 == cos* jz (i — cos y) -h cos ^ .

En désignant, de plus, par les angles égaux XSY, X'SY', on a, d'après la même proposition de trigonométrie,

co6ar7'=cosjx cos J/' -f-sinix sin jjr' cos (ç ■+- 0} = cosfx cosjj^ H- sin^x sin5^ cos^ cosO — sin^xsinfT-sinf sin 0.

(*) Yoir le Mémoire de Tauteor ^r VégalUé et la similitude, etc. Dresde, 1863, $$ 3i et 5^ Aux sources qui y sont citées il faut ajouter : EoLBR, De centra similitmdinis{Not'a Acta Petrop., t. IX, p. i54).

APPLICATIOWS DES DÉTEUMINAJNTS. l65

Mais, à cause de

cos xy = cossx cos sjr •+- sin sx sin sy cosO = o , sin SX sin sy sin d = 6 OXYS = sin xy cos j« = cos sz ,

il vient

cosxy' = cossx cos sy (i — cos y ) — cossz sin y .

De la valeur de cos ay' on tire celle de cosyx', puisque Tangle YSX' = YSX -4- XSX' = — y -h 6, d'où Ton voit qu'il suffit de changer y en — y, pour avoir

cosyx' = cos SX cossy (i — cos y ) •+- cos js sin y.

On a de même

cos rz' = cossy cos sz {i — cos y) — cos sx sin ^ , cos «/' = cos sy cos jî ( i — cos ^ ) H- cos;f;r sin ^ , cos «r' = cos ifz cosfx (i — cos ç) — cossy sin ^ , cos a?z' = cos jz cos JJ? (i — cos y) -h cosj^ sin (p ( *),

les trois premières des quantités auxiliaires sx^ sy^ sz^ (f étant liées entre elles par l'équation

cos' SX -h cos' sy -H cos* sz=z i.

Pour rendre rationnels ces coefficients de la substitution, introduisons -cp: il vient

cos xx' = cos' - » H- 2 cos' SX sin* — ® — sin* - œ ,

cos jrj^ = 2 cos 5^ cos sy sin' - y — 2 cos^z sm - <f cos - ^ ,

C^) Ce sont là les formules trouyées par Euler, Not^. Comm. Petrop.y t. XX , p. ai7, formules que Jacobi a rappelées (/ou/na/ de Crellcj t. II, p. i88 ), en invitant les géomètres à en simplifier la démonstration.

l66 SECONDE PARTIE, § XV.

et de même pour les autres. En posant CCS jj: tang — «p r= A , cossytan^—ff = n, cos^z lang — ç=v,

d'où résulte

tang' i ,p == >» -f- f**-l-v», ! — =:H->»-hfA*-l-v%

ces' - 9

on obtient le système ci-dessus de coefficients rationnels d'une substitution orthogonale ternaire (6).

n. Deux figures spbériques étant semblables, égale» et de sens opposé, il existe un grand cercle, son propre correspondant à lui-même, dont le pôle S a pour correspondant le point diamétralement opposé, et tel qu'on a

SX -+- SX' = i8o% ST -4- Sr = i8o% SZ 4- SZ' = i8o% angle XSY = X' SY', YSZ = Y' SZ', XSZ = X'SZ',

XSX'==YSY' = ZSZ'.

En employant toujours les notations précédentes, on a

cosa:-t' = — cos^sx -h sin'^Jt cos?p = — cos'*j:( i -l-costp) -4-cos<p , cosxy = — cosf;r coss^ -h sin sx sïn sjr cos (y -t- Ô) = — cos SX cos sjr (i -h costf) — cos sz sin ^ , etc.

Ces formules ne diffèrent que par le signe de celles qu'on a trouvées précédemment, en y changeant (f en iSo*' — y. L'angle i8o^ — (j> est celui que le système a:',y', -z' doit décrire autour de Taxe .v, pour que X' Y' Z' coïncide avec la figure symétrique de XYZ.

III. D'après le théorème de v. Staudt [voir ci-après, §jXVII, 6) , on a, pour de» angles el drs positions quelcon-

APPLICATIONS DES DÉTERMINAJNTS.

ques des axes coordonnés ,

cosora:' cosjTx' cos jcz' cù&yx' cos jry cos ft^ ^cos zjc^ ces zy ces zz'

= 360XYZ.OX'Y'Z'.

Par suite, le déterminant est positif ou négatif, suivant que ces tétraèdres, ou les angles solides formés par les axes, sont disposés dans le même sens ou en sens contraire. Dans un système rectangulaire, le tétraèdre correspondant a pour

mesure 77 de l'unité cubique-, donc le déterminant de la

substitution orthogonale sera -H i ou — i, suivant que le nouveau système sera disposé dans le même sens que T ancien, ou en sens contraire (*).