S ^ZZ
en faisant, d'après la règle de la multiplication des déter-
{*) C^eat Jacobi {Journal dé CrellcyX. XY, p. 3og) qui a fait remarquer ce caractère distinctif des déterminants des substitutions. Voir Moebius, Sia^ tique^ § 1 37 ; Magncs, Géométrie analytique de l'espace, § 1 3 .
(**) Dedekimd, Journal de Crelle, t. L, p. 272.
l68 SECONDE PARTIE, § XV.
minants (§VI, 1),
«,, = cosar.r' cosxx' -f- co&xy co^xy' -h cosxz' cos xz' fl„ = cosxx' cosj^x' -+- cosx/'cosjj' H- cosxz'cos^z' ;
etc., de sorte qu'on a
«Il
«Il
On a maintenant
60XYZ = sin xy sin xz sin [xy yxz) , etc.
Mais le produit dessinus n'est égal à Tunité que lorsque les angles sont droits.
9. En désignant par Cm,. . . ,c„^, les coefficients d'une substitution orthogonale ayant pour déterminant e, c'està-dire -h I ou — I, et posant
ci,i
• • Cn,n *+■ 2
l'équation y*(5:) =o est réciproque, et, à. l'exception de la racine — e , qui y satisfait dans le cas de n impair, elle n'a aucune racine réelle (*).
Démonstration. — Le développement du déterminant f(z) suivant les puissances ascendantes de z (§IV, 4) permet, au moyen delà propriété, démontrée dans l'art. 5, VI, des déterminants partiels appartenant à y (o), de reconnaître immédiatement que les coefficients de 2^, z*, z*, . . .
(*) Brioschi. Journnl de Liouvilirj t. XIX, p. 253.
APPLICATIONS DES DÉTERMINAKÏS. 169
ne diffèrent que par le facteur e des coefïicietjis de 2", ^"""S
, . . . , et que par conséquent
ce que Ton peut constater en faisant le produit des déterminants s et/(2). D'après cela, on a
et ainsi y { — s) devra s'annuler identiquement lorsque n sera un nombre impair. Pour arriver à une conclusion sur la réalité des autres racines de l'équation f(z) = o^ formons (§ YI, 4) le produit des déterminants
du^l («, Ij,
en posant
et par suite
et
^ài^k = c^i,i<?*,i -4- — H- (c,„- -H z)^?*,,- -h ... -h Q,*(q,a — 2)
et par suite
de sorte que ^Z,-,* -t- ii*,,.= o. On a par conséquent § ( VIII, 7)
Z di
les coefBcients des puissances de z étant positifs, diaprés
l'article cité. Donc, pour toute valeur réelle de z^ la quantité
, ou
suivant que n est pair ou impair, est positive, et par conséquent/ (z) est différent de zéro.
10. Etant donnée une fonction homogène et entière, du second degré, de n variables o^i, Xj, . . . , x„,
V = 2 ai,kXiX],^ où û,,* = ak,iy
on peut, au moyen de la résolution d'une équation du degré/2, la transformer, par une substitution orthogonale déterminée, en une fonction entière et homogène de n variables, qui ne contiendra plus que les carrés des nouvelles variables (*).
Démonstration. — Par les-^ conditions exprimant
que les produits deux à deux des variables disparaissent de la fonction transformée, la substitution orthogonale qui sert à la transformation se trouve déterminée (6). Or, dans la substitution orthogonale
on a (5, II)
{*) Cavchy, Exercices de Uathématiques, t. IV, p. 140. — Jacobi, Journal de Crelle, t. XII, p. i . — Le Besgdb, Journal de Liouville, t. Il, p. 357 • C'^^^ sui^ cette proposition que repose analytiquement Texistence des axes principaux rectangulaires des lignes et des surfaces du 2*^ degré, dont le centre est à une distance finie.
APPtICATIONS DES DÉTERMINANTS. I^f
Si Ton doit avoir, par celte substitution,
il faudra que Ton ait, pour toutes les valeurs de Xi,
et par suite
"T~ gn V^i,ii«^i ~H« • • "T" ^n^n'^^nj >
^i,k=giCi,xCk,i'h giCi^iCk^i-^, . .-h gnCi,nCk,n
En multipliant les équations
<**,» — gl ^1,1 ^11,1 "H •• • -T~ gn ^i,n Cn,n >
respectivement par Cj^ji, Cj^it, . . . , c„,t, et faisant la somme, on trouve (5, 1)
Du système linéaire
Ci,A{«ri,, — f*)-|-c,,*tf,,, -h.. .H-*?„,*a,,„ =o,
Ct,kOi,i -hC3^k{Oi,7 — gk) -h - ' ' -^ f^n»k di^n =o,
-h<?ï,*«»,j -h. . .-h c„,*(âr„,„ — g'*) = 0,
il résulte enfin (§ IX, 3, et § Vil, 5)
^M gk Û|,S • • • «1,11
«2.1 «s,a gk ' ' ' ai,n
«n.2 . • . «n,n — gk
cx,k : c^,k : c,,k :...== v^-y, (gk) : >/ff,{gk) : VT^Cir) : . . . ,
(fi(z) désignant le coefficient de a,-,, — z dans le déter-
minant
a,,, — z fl,,:
ûj.a — Z . . . ûj,,
Maintenant, à cause de
f\-hc.'h- .
Mgk
on a, pour déterminer les coefficients de la substitution orthogonale cherchée,
= ^<fi(gk) : v^<p,(^i) : ... : yTO*") : )/^i{gk)
?n{gk)'
Les quantités gt^ gt,' ' >, gn sont les racines de l'équation du degré /2,y(z)=:o. Aucune d'elles ne peut être nulle, cary (o) est le déterminant (de Hesse) de la fonction quadratique V, et ridentîtéy*(o) = o indiquerait que V serait en réalité une fonction de moins de n variables
(§xm,3).
L'équation f{z) = o ne peut avoir de racines imaginaires ou complexes. En effet, en vertu des proportions précédentes et de l'équation
on a, pour chaque couple de racines gi^ gj,^
V^<Pi [Si) V^?- {gk) H- . . . 4- v^7„ [gi) >/<fn (gk) = o. Si maintenant on avait
il exislcrait une aulre racine gi.z=z p -^^ q sj — i, et par
suite sj(fr (gi) = Pr — (),r yl — ' • De là résulterait
et la somme de pareils produits ne pourrait être nulle, à moins que ^r{gi) ne s'annulât pour r= i, 2,. . ., 7i. Or <fr{z) est une fonciipn du degré n — i et de même nature que/(«); elle ne peut donc s'annuler pour if = g'i que lorsque des fonctions de même nature et de degré inférieur s'annulent, ce qui est impossible pour des fonctions du premier degré.
Dans le cas où deux ou plusieurs des racines de Téqualiony (-z) = o deviennent égales entre elles, la transformation cherchée de la fonction V n'est pas complètement déterminée, parce que deux ou plusieurs lignes parallèles
des coefficients de la substitution prennent la valeur -•
En effet, si gj, est une racine double de l'équation f [z)=o^ on a, en vertu de l'équation remarquée ci-dessus,
ce qui s'accorde avec la condition qu'il faut développer, d'après le § DI, \QJ'(gk) = o (§ XII, H). Les quantités ?! (ê^*)î 9» (S^*)' • • • ^^^^ ^® même signe, puisque le produit de deux quelconques d'entre elles est égal à un carré positif (§ VII, 5). Leur somme ne peut donc s'annuler que lorsque chacune d'elles est nulle. Donc, dans les valeurs fractionnaires trouvées pour c,^j[, Ci,k> • • • > Cnyit les numérateurs s'annulent, ainsi que les dénominateurs.
Remarque. — Par la transformation précédente de la fonction Y, un reconnaît les maxima et les mi ni ma que présente la fonction donnée lorsque les variables sont assujetties à la condition
174 SECONDE PAKTIE, § XV.
Comme on a alors en même temps il s'ensuit que
^ = gi r] -^ g7 y] -h . . .-h gn x]
= 5^*-+- [gt — ^*) rî -+-•••-+■(«'• — g^) r\ •
De là résulte évidemment que V ne peut pas être plus grand (ou plus petit) que g^^ si g^, désigne la plus grande (ou la plus petite) des quantités g^i, ^s v * • 9 g^n- L^ fonction V obtient cette valeur, lorsqu'on fait jx = o , y, = o, . . . ,
•^jizr I, . . . , y„ = o, c'est-à-dire lorsqu'on fait
En traitant directement ce problème, on a les conditions
dy d\ dV
à satisfaire, et Ton a dV
^t par conséquent
Cette équation n'est autre chose que l'équation trouvée cidessus ,
«i.i Ci,k -f- «i,j <^2.* -h ... 4- fl/.fl c„,* == g'i c,,*, en remplaçant l'inconnue |ut par g^ , et les inconnues x^ ,
H . L'équation y (z) = o, qui se distingue par la réalité de ses racines (10) , se présente dans plusieurs recherches ,
APPLICATIONS DES DÉTERMIJNANTS. 17$
par exemple, dans la détermination des axes principaux des lignes et des surfaces du second degré, dans la détermination des axes principaux d'inertie d'un corps donné, dans le calcul des inégalités séculaires des planètes (Laplace, Mémoire de V Académie de Paris^ ^77^? t. II, pp. 298 et 362). Lagrange a démontré la réalité des racines d^unetellc équation pour le cas du troisième degré (Mémoires de P Académie de Berlin^ *773> p« 108). Cauchy (/. c.) a démontré cette propriété pour le cas d^une pareille équation de degré quelconque. La réalité des racines pour cette classe d'équations a été démontrée d'une manière nouvelle et directe par Kummer {Journal de Crelle^ t. XXVI, p. 268 ; i/oir Jacobi, Journal de Crelle, t. XXX, p. 46), dans le cas du troisième degré, et par Borchardt [Journal de Liouuille, t. Xn, p. 5o), dans le cas d'un degré quelconque. Sylvester [Philos. Mag,^ i852, t. Il, p. i38) a donné de la même propriété la démonstration suivante, qui n'est pas moins directe (*).
Soient
et
Hj^i Z . . . «2,n
On.t • . . ^n,n Z
on aura
bi,i
bn,.
*'ii,2 • • • *n,B "
( * ) A l'histoire de ce problème se rapportent encore les Notes de Sylvester {Philosophical Magazine y i853, t. H, p. 21 4) et d'Hermite {Comptes rendus, i855^ t. XLI, p. 181).
1 ^6 SECONDE PAKTIE, § XVI.
en posant, d'après la règle de la multiplication des dëterminants (§ VI, 4),
^1,1— »' = «!, itf 1,1 4-- . .4-(ûM-- 2)(û,mH-2)H-. . . +û,',«û,>, ^i,*= fliM û*,i -+- • • -4- («1,1 — *)«*,iH-. • - H- flfi,i(<'*,*-l-z)
et par conséquent
^1,1 = «1.1 Oi,x + . . . H- fli,« fl/,;,
^1,* = Oi.\ «*,i -H . . .+ «I,» «*,« = bk,i'
Le d€terminant/(r)/( — z), développé d'après le § IV, 4, donne
chacune des quantités R^, telles que
^«,1 • • • ^/ii,m
étant une somme de carrés (§VI, 2). Par conséquent
f [q V — /( — q V— ï) est positif pour toute valeur de
q\ donc q \J — i n'est pas une racine de l'équation /(z) = o.
En posant de plus z = p-{-z!^ et changeant /(-z) en
F (2'), alors, pour la même raison, q sj — i ne peut être
racine de l'équation F (z') = o, et par suite p-i-q ^ — i ne peut être racine de Téquation f(z) =0. L'équation y(z) = o n'a donc que des racines réelles.
§ XVI. — Surface du triangle et volume du tétraèdre.
\ . Soient O l'origine d'axes coordonnés quelconques ; x^y et Xx'^yx les coordonnées, parallèles aux axes, des deux points A et 6^ désignons par r, /'i les longueurs OA, OB, et
APPLICATIONS DES DÉTERMtlïANTS. I 77
prenons, de plus, la surface du triangle OÂB positivement ou négativement^ suivant que la rotation déterminée par l'ordre des points O, Aj B, est ou n'est pas de même sens que la rotation qui sert à décrire les angles positifs. On a alors
2 OAB = rr^ sin rr^
JP, y y
8inarj^(*).
Démonstration, — Il résulte immédiatement, de l'hypothèse faite sur le signe de l'aire du triangle, que ri\ sin /Tj s'accorde aussi pour le signe avec 2 OAB. Mais on a .(§ III, 2)
r* r\ sin' rr^ z=z t^ r]
I , cos rr,
ces rr^ , I
rr , rr, ces rr,
rr, cosrr,, r^r^
Or on trouve, au moyen de la projection orthogonale,
r cosarr = J7 -^ y cosxy,
r cosyr = x cosxy -+■ y ,
r = .r cos^r -f- y cos jr,
r, côs rr^ z=z x, cos^r -f-/i cos/r.
La règle de la multiplication des déterminants (§ VI, 1 ) donne
X (x-|-jco9.r/)-|-j [xco^xy-^-y), x (j?i H-^'iCOSarj) -1-7 (^,C0S^/-t-7,) j:, (jF-hjcosAy)+7,(j:cosjpr-hr)» •îCi{^i-Hri<^osa7)-f-r«(^iCos.ry+j^,)
