X -1- dbc, y -h dy
sinxj —
r/x dy
sinxj,
en appliquant le § UI, 4.
2. Par sihus de T angle solide [trièdre) formé par trois directions x^j^ z, on entend, diaprés t. Staudt [Journal de Crelle, t. XXI\ , p. aSa), le facteur par lequel il faut multiplier le produit des arêtes qui aboutissent à un sonunet d'un parallélépipède, pour obtenir le volume du parallélépipède. En désignant ce facteur par sin xy^, on a, conune on sait,
sin xyz = sm xr sinxr, 3 := sinxr sinxz sinx;^, xz ,
x/, z et xy-j xz désignant les angles que fait le plan xy avec la direction z et avec le plan xz. Par analogie avec Téquation
SID^Xl
cosjrr I
COSJC^ I
lî
on trouve
sin'.r/z =
cosjTj I cosyz
cosxz COSJS I
COS^jrj — COS^XZ — COS^J^Z -I- aCOSX^COSiTZCOS^Z
4 sin — =^ sm — ^ sin -^ ^^ sin -^
Démonstration. — De l'équation
-f-xz — jrz
Sin xjsm jpzcosxy, j?z = cos/z — cos.rxcos.rz, il résulte
sin'j;^z =
- cos^xy
cosyz —
cos x/ cosxz
cos/z —
COSXjrcOSXZ, l —
cos^xz
COSJ^J^ —
- cos xjr ,
cos xz — cos xz
rosxx,
- cos'.rj ,
cos/z -^ cos xj^ cos xz
COSJJZ,
cos yz -—
■ COS xy cos xzy
i — cos'xz
COSXJ
cosxz
cosjrj
cosyz
cos xz
COSJ?
en appliquant les principes du § 11^ 6 et du § III, 4. Ce déterminant, développé d'après le § V, 2» donne la formule due à Euler (Noi^. Comm, Petrop., t. IV, p. i58), et cette formule se transforme aisément, comme on sait, en un produit (Legendre, Eléments de Géométrie, Note V).
3. Lorsque Ton a à considérer plusieurs tétraèdres et leurs angles solides, il faut distinguer les cas où ils sont de même sens ou de sens contraire: Le sens des figures dans Tespace n'étant pas changé par. une translation parallèle, il suffit de comparer les angles solides dont les arêtes x, y^ z et /•, Tj, r, partent d'un même point O. Si lés directions de ces arêtes (et non les directions opposées) rencontrent
l8o . SECONDE PARTIE, § XVI.
la sphère, décrite du centre O avec le rayon i , aux points X, Y, Z, R, Ri, Rf, les angles solides xyz et rrir,, ainsi ' que les tétraèdres OXYZ et ORRiRs, seront ou ne seront pas de même sens, suivant que les triangles sphériqnes XYZ et RRiRa, vus du point O, seront ou ne seront pas de même
sens. Dans le premier cas, ûnxyz^=: sinxysitixyfZ et
sin/TiT, == sin/Tisin/ri,r, seront de même signe, parce
que, dans des angles solides de même sens, sino^^^z et
'-^^ sinrri, r, doivent être de même signe ou de signe contraire,
selon que sinx^ et sinrrj, seront de même signe ou désigne
contraire. Dans le second cas, ces mêmes quantités sont de
signe contraire.
4. Soient O Forigine d'axes coordonnés quelconques; (x, jr, z), (Xi, /i, Zi), (oTt, jr,, Zy) les coordonnées des points A, 6, C, et désignons les distances OA, 06, OC par r, Ti, r,. Enfin prenons le volume du tétraèdre OABC positivement ou négativement, selon que sinrriTt sera pris positivement ou négativement. On aura
6 OABC = rTx r, sin rr^ r^ =
Démonstration. — On a ( a )
jc y z
sânxxz (*).
r' r , r] sm' rri r^=zr^ r\r
I cosrri ces rTj
CCS rr, I C08r,r2
ces rrj ces r.r, i rr rri cosr r, r r^cosr r^
rry ces rrx r, r^ r, r, ces r, Tj
rri ces /T, r, r^ ces r, r, r, Tj
(*) Lagrange, Sur les Pjram., i4 {Mémoires de l'Académie de Berlin, 1773, p. 149). — MoîiGE, loe. cit. — MoGBluSy Statique, §63.
APPLIGÂTIOINS DES DÉTERMINANTS. l8l
Or on a, par la projection orthogonale,
rcosxr=: X -^ y cos xjr -{- zcosxz = X,
rcos/r = X ces x/ -hy -h « cosyz = Y,
rcoszr =. x ces xz -\-jr cosfz -Hz = Z,
r z=: X cosxr -f- f cos j^r -+- z cois,;8r,
r, cos rr, = x,cosj:r+/,cosr/' + Zicoszr,
etc. Si l'on désigne par Xj, Yi, Zi les quantités analogues relatives à Xi, yiy z^-^ par Xs, Yj, Z, les quantités analogues relatives à JTa, /s, ^s, on a
rr=:.rX 4-rY-|-z2, rr, cos rr, = a:, X H- >'i Y 4- «, Z rsxX.-hjY.H-zZ,,
etc. Par conséquent, en appliquant le théorème du § VI, 1, on a, au lieu du déterminant ci-dessus, le produit
Jî 7 z
ar, r, z,
X, jr^ Za
I COSJT* cosxz cos xjr I cos/z cosxz cosj^z I
Donc, en désignant dt i par e.
r/',raSinrr,r2= s
j?, 7, z, 8in.trjz.
Si, parmi les coordonnées des points considérés, x^ji^ z^ sont seules différentes de zéro, toutes les autres étant nulles, alors r coïncide avec x, r^ avec y^ Tj avec z^ et le déterminant se réduit à son terme initial (§11,7). Par conséquent e = i .
Remarque, — Au moyeu des théorèmes (1) et (4), on peut interpréter géométriquement les plus simples des identités établies au § HT, 11 .
iSa SECONDE PARTIE^ § XVI.
5. Soient donnés les points Â, B, C par leurs coordonnées (j^j j), {Xi,yi), (Xî, y,), rapportées à deux axes tracés dans le plan ABC. On a
Il X ri
aABC =
sinxj {•).
Démonstration. — Par rapporta un système d'axes mené par Torigine A parallèlement aux axes donnés, les coordonnées des points B et C seront [xy — x, y^ — j)i (xj — X, y^ — jr) ; on a par suite (1 )
•r. — .r, y,— y Xs^Xy y^ — y
sin xjr.
En appliquant ce qu'on a vu (§ II, 5 et § III, 4), on trouve, au lieu de ce déterminant,
X JT,
.r, — Xj
ri
ri
Remarque. — Toutes les fois que dans la formule ABC on permute deux lettres , la surface du triangle change de signe. Effectivement, le déterminant des coordonnées éprouve un changement de signe par la permutation de deux lignes horizontales (§11, 4). Par le développement de ce déterminant, on obtient Tidentité connue
ABC = OBC -h OCA -f- OAB.
Pour exprimer la condition que A soit situé sur la droite BC, c est-à-dire pour l'équation de la droite passant par B
{*) Cette formule connue a été donnée sous celte forme par Cayley, Cambrige Math, lourn.f t. Il, p. 268, et par Joachimsthal, Journal de Crelle, t. XL, p. 23.
APPLICATIONS DES DÉTERMINAJNTS. l83
el C , on trouve , à cause de ABC = o dans ce cas ,
6. Si les points A, B, C, D sont donnés par leurs coordonnées relatives à trois axes [x^ j-, z)^ (x, , j^ <3i), (a:,,/t,z,), (X8,j,,z8), on a \
1 X, yx z, I X'i y^ Zj
