ABCD

sin xyz (*).

Démonstration, — Si l'on mène par A un système d'axes parallèles aux axes donnés et de même direction , les coordonnées des points B, C^ D par rapport" à ces axes seront (xi — j:,j,— j, z^ — z)^ (x, — x, j^,— j, z, — ^),etc. j par conséquent on a (4)

6 ABCD =r

Xx — Xy yx — y^ Zx — z jca — X, ri— r» ^2 — z

sm xyz.

En appliquant ce qui a été vu (§ II, 5 et § III, 4), on trouve, pour la valeur, du déterminant multiplié par sin xyz , ^

— z ly Xx — Xy y\ — "^j Z, — z

\ y X-x '-^ Xy y-l — J<", 32 — z

' ^-i yi Zj

Remarque. — Lorsque dans la formule ABCD on permute deux lettres, le volume du tétraèdre change à chaque

{*) CaTLEY, loc, Cit, — JOACHIHSTHAL, toc. CU.

l84 SECONDE PARTIE, §XVI.

fois de signe, ainsi que le déterminant qui entre dans son expression.

La condition pour que  se trouve dans le plan BCD, et par suite l'équation du plan BCD9 est ABCD = o , c'està-dire

I JC, y, z,

ou 9 en développant ,

1 ri 2,

I JTi Z|

1 J^i Ji

I ji ^2

I JCa/î

^3 Xi ^3

I JTj 23

1 ^3 Ti

dont on aperçoit immédiatement la signification géométrique.

7. L^ position du point P par rapport au tétraèdre OABC est dé^rminée par les rapports des tétraèdres

OBCP : OCAP : oabp : oabc = p. ■ f*. : fta : i (*).

Soient, en^ffet, (4^1, /i, Zi), (x,,j,, z,), [x^, j^, z^), (a:,y, x) les coordonnées de A, B, C, P par rapport à trois axes passant par O. On a (4)

x-i Yi Zi

et ainsi de suite.

En développant ces équa-tions, et désignant par |i, yîi, Çi,. . . les coefficients de Xj, j^i, -Zi,. . . dans le détermi-

( *) Lagra?(GE, ^ur les Pyiam,^ 28.

naut V, il vient

Ç3Z =3: fAsV.

Or on a (§111,1)

etc. Par conséquent

(II

X = fX, JTi -+- fXj rj -f- fA3^3, Z = f*, a, -I- fXjZa + f*3 *3»

Pour déterminer le rapport PABC : O ABC = fx , développons le déterminant

c'est-à-dire (6 et 4) ,

•^2 jK'i ^2 ^3 Xi ^3

-Tt fi 3,

(III

PABC = OABC — OBCP — OCAP — OABP ,

f4 = I — Pi — fAj — f*3 •

Delà résulte ; a, £, c, £/ étant des quantités quelconques,

a -h bx -^ cjr -\- dz = yia '\- lit {a -i- bx^ 4- cj, + <fe|)