fAa (« + bxi -h O'î H- ^«2) ^ ^3 [a -h ^Xg 4- cj3 -H

Pour trouver la signification géométrique de cette équation, concevotis le plan qui a pour équation

a 4- bx' 4- cy' 4- «fe' = o.

l86 SECONDE PARTIE, § XVI.

Si ce plan est rencontré par des parallèles aux z , menées par P, O, A, B, C, aux points P, O A', B', C, et que Fait pour coordonnées x, y^ z!^ on aura

a -+- ^x -H cj H- rfz ==é/(z — 3') = <^.P'P,

etc. On a par conséquent Téquation

(IV) P'P = fx . O'O -h pi, . A' A 4- fx, . B'B -h IL, . ce (*),

où l'on peut entendre par P, CX, A^ B', C, les intersections d'un faisceau quelconque de parallèles , menées par P, O, A, B, C, avec un plan quelconque. Par suite on voit que P est le centre de gravité des masses fx , /uii , fz, , fXs , placés en O, A, B, C, et dont la sommes est égale à l'unité.

8. Soient A|, Bi, Ci les milieux de OA, OB, OC; le tétraèdre OABC sera partagé en deux parties équivalentes par chacun des plans A|BC, ABiC, ABC| , et le centre de gravité P du tétraèdre OABC se trouvera sur chacun de ces plans médians , de telle sorte qu'on aura

A,BCP = o, AB,CP = o, ABC»P = o.

Aj ayant pour coordonnées ^Xx , 7^1 , y^i , on a (6) , d'après les notations précédentes,

I ar, Jî Za

I ar r 2

(*) Feuerbacb, Untersuehung der dreieckigen Pyramide^ p. 5. — Mobbius, tlarjrc. Cale, cap. i . Les quantités fi, /k,, /«„ fj, sont les coordonnées barycentriques (coeflicicnls coordonnés ) d\\ point P par rapport à la pyramide fondamentale OARC, selon Mœbius et Feiicrbach .

APPLICATIONS DES pÉTERMINAJNTS. 187

eic. Par conséquent

• 2^, 4- fia -h fx

fA, ■+- 2fX2 H- fA3 ;= I , f*. -h fii-2 -f- 2 fXj = I ,

d'où l'on lire

fAl— fA2=0, fA, — fA3=0, p, =: a, =: fA3 = •^-

Donc a == 7» et Ton a

a?, -4- 0:2 -h ^3 J, -h jr-i ■+■ yz ^1-4- ^2 -h «3

c'est-à-diré que le centre de gravité d'un tétraèdre est le sommet commun de quatre tétraèdres équivalents, ayant pour bases les faces du tétraèdre , et aussi le centre de gravité de quatre masses égales, ayant leurs centres de gravité respectifs aux sommets du tétraèdre (*).

9. Etant données les équations des côtés d'un triangle par rapport à un système de deux axes, on trouve la surface du triangle de la manière suivante (**). Soient

les coordonnées des côtés, c'est-à-dire ^ supposons que» pour chaque point du premier côté, ayant pour coordonnées p, q^ on ait tf -f- i/? -h cy = o, et de même pour les autres. Les coordonnées des sommets \x^y)^ {x^fx)-, (j^iî y«)î avec les trois quantités auxiliaires/?, /?i, ;7„ sont déterminées par les équations

a -^b x-^c y=py /ï -h ^ or, -f-c ji = o, a -4- 6 Xj + c j2=o,

^^2+ ^,J?-t-C2j=0, a2-+-^jJ^l-hC2:>â==0, rt2-|-^a-^2-f-C2j2=^/?^,

( '* ) Lagrange, Sur les Vyi., 3 1 -35 .

(**) JOAGHIMSTHAL, Journal de Crellcy t. XL, }>. 2^.

l88 SECONDE PARTIE, § X¥I.

lesquelles expriment que le point [x^ y) est situé sur la deuxième et sur la troisième droite, mais non sur la première ^ etc. On a, par le § VI, 1 ,

o PxO o o />2

abc

Gx bx c,

Qj bi Ci

Des trois premières équations, il résulte (§ IX, 3 ; § III, 3)

a — p b e 0\ bx Cl

Oi b-i C]

abc = o, û, bx Cx

a-i bi Ci R — poL =r o.

p b c o bx c, o bi c.

en désignant par R le déterminant des coeflScients des droites, et par a le coefficient de a dans ce déterminant. On a d'une manière analogue

R— /?iai=ro, R — ptCtiZ^O.

Par suite, il vient (§11, 7)

o PxO

oo /?,

= PPxP2^

OLOLx OLi

ï x^yt

CLOLx a-x

et par conséquent le double de la surface cherchée du triangle a pour valeur

R* sin xy

aa-xOLt

Après avoir calculé , par les formules connues , les hauteurs du triangle, c'est-à-dire les distances des points (x,j^), (xt, yx)i (a:», /s) à la première, à la deuxième , à la troisième droite respectivement, on obtient les côtés du triangle en divisant par ces hauteurs le double de la surface que Ton vient de trouver.

APPLICATIONS DES DtTEKMINANTS, 189

Si le déterminant des coordonnées linéaires s'annule sans que deux lignes horizontales soient composées des mêmes éléments, alors les trois droites passent par un même point situé à une distance finie.

10. Etant données les équations des faces d'un tétraèdre par rapport à un système de trois axes, on trouvera le volume du tétraèdre de la même manière qu'on a trouvé la surface du triangle au moyen des côtés (*). Soient

les coordonnées des faces, c^est-à-dire supposons que pour un point quelconque de la première face ayant pour coordonnées p^ q^ /% on ait a + bp '\- cq -^ dr = o^ etc. On déterminera les coordonnées des sommets (x^ y^ z), (xi,ji, Zi), (a:,, j,, z,), (xs, /s, -«s), avec les quantités auxiliaires p^ pi^ p^^p^^ par les quatre systèmes, de quatre équations chacun,

a -\- bx + cy -\~dz =zp ,

fl, -4- è, j: -H c, y -h rf, 2 = o, flj-h b^x-i- c^y-i-diZzz: o,

etc., lesquelles expriment que le point (x^y^ z) est situé sur le deuxième, le troisième et le quatrième plan, et non sur le premier, etc. On a (§ VI, l)

ai

di

Cz

( * ) JOACHIMSTQAL, loc, cit .

190 SECONDE PARTIE, § XVH.

Du premier système de quatre équations pn tire

ai

R étant le déterminant des coordonnées superficielles, et a le coefficient qui multiplie a dans R. On a semblablement

R — ;>|a,==o, R — /?,aj = o, R— /?3a.,= o, et par conséquent

pp,p^p,z=

Cf. a, «} a.-^

i r jr z

1 Xi J'i -z,

a ai a; aj

et le sextuple du volume cherché du tétraèdre (6) aura

pour valeur

R* sin xjrz

a 0(| 2} OLj,

De là on peut, au moyen des hauteurs du tétraèdre, déduire les aires de ses faces.

Si le déterminant des coordonnées superficielles est nul, sans que deux lignes horizontales de ses éléments soient identiques, les quatre plans passeront par un même point situé à une distance finie.

§ XVII. — Sur les produits de surfaces de triangles et

de "volumes de tétraèdres»

1. Soient x,j^, r, r^ des directions quelconques dans un plan, et supposons que les angles positifs entre ces directions soient décrits par des rotations de même sens. On

aura

sin iTj ^in r/*! =

cos.rr cos/r cosorr, cos/r,

Démonstration. — On peut, sans altérer les angles, faire partir les directions données d'un même point O. Prenons sur les directions r, r^ les segments positifs OA = r, OB= ri5 et soient (x, j), (xi , j^i ) les coordonnées des points A, B par rapport aux axes x, j. On aura (§ XVI, A )

n\ sin xy sin rrx

X jr .1. 00807-

*, 7, co% xjr I