X -\- y ces arj, X ces ^J -|- j
^'t -h JTi cosxy, Xy çosxy -\- j,
r cosxr, r ço^yr
r, ces xr, , r, ces jr,
d'où résulte (§ III, 2} la proposition énoncée.
2. Les triangles AAj Aj et BBi Bj étant situés dans un même plan, si l'on pose
AA:.BB*. cbs ( AAi, BB*) = c,-,<. ,
on aura
4 AAi Aj . BBi B2 =
Cij .C52
Démonstration, — Posons A Ai = a*, AA, ==.y, BBi = /•, BBg = /'i -, il viendra (1 )
4 ^^ I ^ î • ^^« ^î = ^/'■'*t sin ^j sin rr,
^rr cos.rr, yr cosyr
xr^ cos xr^ , jr, ces yr,
Le produit c,,* n'est paa ambigu, comme il pourrait le paraître. Déterminons .arbitrairement les directions positives des droites AA,- et BB;^ , c'est-à-dire les directions sui-
l§'2 SECONDE PARTIE, § XVII.
vant lesquelles les distances doivent être comptées positivement sur ces droites. Par là les facteurs cos^AA,,BB*y , AA, , BBji prennent des signes déterminés. Si Ton avait pris la direction positive d'une droite,* par exemple, de AA,,
dans le sens opposé, Tangle \AA,,BBji j aurait varié de i8o^,
et par suite cos ( AA/ , BB^j aurait changé de signe, en même temps que la distance AA/ .
3. Si les plans des triangles AAi At, BBi Bs font entre eux Fangle f , on a, d'après la notation précédente,
4 AAi As.BB1B2.cosf =
^11 *ii
Démonstration. — Soit NNiNt la projection orthogonale de BB] Bt sur le plan AAt At; on peut appliquer au produit 4 AAi Af .NNi M2 le théorème précédent. On a alors, d'une part,
NN,N,= BB,BaCOs^, et d'autre part
AA,.NN,.cos(aa,,NN,)=: AA,.BB,.cos(aa,,BB,),
etc., les projections orthogonales de NN^ et de BBi sur la droite AAi étant identiques.
Le produit 4 A Ai At . BB] Bt • cos <f n'est pas ambigu, non plus que le déterminant que l'on a trouvé pour sa valeur. Ayant choisi à volonté le sens positif dans chacun deà deux plans, c'est-à-dire le sens dans lequel on' doit compter positivement les angles et les surfaces, on en tirera les signes des triangles A Ai As, BBi Bt, et alors on entendra par (f l'angle que doit décrire l'un des plans pour que les triangles positifs dans les deux pl§ns se trotivent de même sens. Si Ton change le sens positif dans l'un des plans, deux des
APPLICATIONS DES DÉTERMINANTS. IpS
facteurs du produit changent de signe, savoir, le triangle et cos(j), Tangle cf variant de i8o°.^ donc le produit ne change pas.
4. En désignant par x^ y, /', r, des directions quelconques de Tespace, on a
sin XX sin rrt cos
ces xr cos jrt cosxri cos//*!
Démonstration, — Faisons passer les directions données par un même point O, et prenons sur ces directions les distances positives OC = x, OD = y, OE = r, 0F= Tj 5 on aura
xyrri sin xf sin rri cos
[xjr,rrj =
xr cosa;r, yr cosjr xr^ cos xr, , jr, cos jr,
d'où, en supprimant le facteur commun xyn\ , on tire la proposition énoncée.
Remarque. — Pour démontrer la vérité de cette même proposition relativement à quatre plans quelconques (**), il suffit d'appliquer la proposition aux uormales positives de ces plans, ou, ce qui revient au même, à la figure polaire du quadrilatère CDEF considéré ci-dessus, en supposant les points C D, E, F situés sur une sphère décrite du centre O. Celte sphère sera rencontrée en un point par l'intersection de deux plans prise dans une direction choisie arbitrairement, et sera rencontrée par chaque .plan suivant un grand cercle d'un sens déterminé arbitrai rendent, sans
C*) Cette proposition, qui comprend les propositions précédentes trouvées par Von Staudt, a été établie pour la première fois par Gauss ( liisq . gen . cîrca superf, cunas, 11,6); puis elle a été reproduite par Von Staudt, Jour" nal de Crelle, t. XXIV, p. 262, et en dernier lieu par Caucby, Exercices d'Analyse^ t.. IV, p . [\i.
( **) JoACHiMSTHAL, /oç, cii.y p. 44, a douné une démonstratioVi analytique de ce corollaire relatif à la iigure polaire.
194 SECONDE PARTIE, § XTU.
que le produit dont la valeur est donnée par le déterminant présente une ambiguïté de signe.
