Des équations

sin rs sin tu ces \rs^ iu) = ces rt ces su — ces st ces ru^

( ^ ) sin st sin ru ces \st, ruj =z ces sr ces tu — cos rrcos su,

( ^ \ sm tr sin su cos ytr y su ) z=: cos £; cos ru — cos rs cos tu^

on tire par addition

, \ sin rf sin mcos^rr, tu) 4- sin 5/ sin ra cos \ 5/ , ru)

\ + sin rr sin Jtt cos \tr^ suj = 0,

à cause de cos tr = cos r/, etc. Dans ces équations, il faut observer que sin rs = — sin 5r, cos \ rs , tu) = — cos (sr^ ^a ) , e te . L'équation correspondante (*) entre les angles de quatre plans et les intersections opposées de ces plans sera

. j sin rs sin tu cos 77, -h sin st sin ru cos aai

^ ' { -4- sin fr sin su cos pp, = o,

en désignant les intersections rj, st^ tr par 7, a, /3, et les intersections tu^ ru^ su par 71 , «i , l3i .

On a de même, pour quatre points A, B, C, D,

i AB.CD.cos 77, -4- BC. AD. cos aa, ^^ ("*J i ^CA.BD.cospp, = o, ^ ^'

AB, BC, CA, désignant des segments pris sur les droites y, a, j3; et CD, AD, BD des segments pris sur les droites

yi , «1 , 01 . On a, en eflfet,

AB cos 77, — AD cos a, 7, -f DB cos Pi 71 , BC cos aa, = BD cos p, a, -4- DC COS71 a, , CA cos pp, = CD cos 7, p, -h DA cos a, p, .

(") JOA€HIMSTHAL, loc . Cit.

(** ) Car«OT, MenioiVe sur la relation qui existe^ etc . j 27

En multipliant ces équations respectivement par CD, AI), BD, et faisant la somme, on obtient la relation énoncée, puisque l'on a AD = — DA. et cos j3i «i = cos «j p, , etc.

Les équations (II) et (III) ne diffèrent pas essentiellement entre elles, copame l'a remarqué JoachimstTial (*/. c). On a, en effet, en ayant même égard au signe,

.«^^ 2 ^^^ ^^^ sinlABCABD/ -