P "^ AB.CD "" BC.AD "" CA.BD

On voit par là comment les équations (H) et (III) peuvent se déduire l'une de Tautre.

6. Si a:, y, z, r, r^ , r» , sont des directions quelconques dans l'espace, on a 1

co%xr cosyr coszr

cosârri cosjr, coszri (**).

ces xrs cos yri cos zr^

sin ;rjz sm /Tj r, =

Démonstration. — Faisons passer les directions données par un même point O, et prenons sur ces directions les segments positifs OA = r, OB = r,, OC = r, 5 soient (ac,y, z), (xi, j^i, Zi), (Xt, j'tj -Zf)» les coordonnées des points A, B^ C par rapport aux axes x, y, z. On a (§ XYL 4)

cosar^

cos ^2

rr, Ti «n xyz sm rr, r» —

JUx 7i 2i

cos j:/

cosjz

cos a;z

Cf»jrz

X 4-J C0S:r/-|-2 COSXS, X COSX)^-f-J+« cos^z, « cosxz H-^cos/z-Hz ^i4-JiC0SJr/+z, COSXZ9 X| cosay-+j^i-|-z,cosjz, j:, cosxzH-y, cosjz+2i .r3-*-7,cosjpj^-t-«ïCOSxz, x, cosx/-l-7,-hz,cos/z,x, cosxz+y^ cosjz-f-î,

r cos xr r cos jrr r cos zr r, cos xr, r, cos/r» r, cos zr, f , cos xr, r, cos j^r, r, cos zr,

d'où, en supprimant le facteur commun rri r^, on conclut la proposition énoncée.

( .* ) BRBTSCHHBlDny Géométrie, § 677 .

( **} YoN Staddt, loe. cit . Le cas particulier où le système x,^, s est orthogonal, et où par suite sin xyz = it: i , a été traité déjà par Gauss, loe. cil.

.APPLICATIOI'S DES DÉTERltlIfÀNTS. I97

7. En désignant par e<^t le même produit de segments que ci-dessus (2) , on a ^

36 AA| A2 Aj . HB, B3 B3. =

^11 C-2\ C^i <?I3 Cîj C32 *^I3 ^33 <*J3

Démons Uiation^ — En posant

AAi. = x, AAa=j,. AA3=«, BB, =r r, BB, = r, , BB, = n,

il vient (6)

36 A A, Aa A3 . BB, B, B3 = ^/z/*/-, r, sin xyz sin rr, «-^ , arr cosxr, ^/"COS/r, zrcoszr

j:r, ces arrj, , yr, ces jr, , «r, ces zr,

xr, ces xr, , j/f^ cos/r, , «^j €0S z/»,

ces xr cos jrr ces xr, cos/r,

cosorr cosj^r coszr cos xr, cos rr, k^s zr, j cosxr, 00$ jr, cos zr,

ont^ en vertu de leurs valeurs trouvées (1,4,6), la propriété remarquable de n'éprouver aucun changement, lorsqu'on fait varier d'une manière quelconque la position relative des angles xy^rr^ d'une part, et des angles solides xyz^ rryi\ de l'autre, pourvu que, dans le premier cas,

Vangle dièdre xxy^rvy) conserve sa grandeur (**).

9. Au moyen de Féquation (6) , on- peut calculer la distance de deux droites dans Tespace, données, de position par

C^) Von Staudt, loc. cil. Dans le cas où le second tétraèdre n'est pas différeAt da premier,, alors on a c^ |^ = Cf^^y et Ton obtient Ja formule de Lagrange {Sur les^ V^^^t *^)' ®* ^® Legendre (Éléments de Géométrie , WoteV, 7).

( ** ) Cauchy, Exercices d'Ànalyscj t. IV, p. 5i .

I9S SECONDE PARTIE, § X\ll.

rapport à un système d'axes quelconque x, j^, z. Soient (^ufif -Zi)» (j?«>y*> ^i) les coordonnées des points A et B*5 soient données les directions r^, f\ des droites AA', BB' au moyen de leurs angles avec les axes, de sorte que l'on puisse calculer l'angle n r^ . Désignons par r la distance AB , dont les projections sont x^ — oTi , jr^ — jti , z, — Si , et par d la distance cherchée des droites AA', BB . Tirons enfin AC dans la direction r, , et prenons AA', AC égales à l'unité de longueur. On a

6 AA' CB = d sin r, r, = rsinrr, r,.

et par suite

dsin xyz sin r, r, =

r CGC xr r cos yr r cos zr cos .rr, cosjr, çosjsr, cosxrj cos/rj cos zrj

rn remarquant que

r cosyr = ( x, — .r , ) cos x/ r cos zr = (.r, — x, ) cos arc

(j^2 — /,) cos.rj -f- («j — Zi) cosjrz,

(r 2 — r i ) H- («2 — 2i ) cos jz,

(r 2 —ri ) co%jrz -h («j — 3, ).

On obtient, en développant (*) ,

d sin xyz sin r, r^ = (a -h p cosxj

-H ( a ces .r/ -h p -h (a cos JTZ H- pcosjz

en posant, pour abréger,

7COs.ra) [x^ — ^1) 7 cos ^z) (ri —J.) 7 )(^a— 2.),

cos^'*! coszrj cos jA-j coszra

coszr, cos.rr, cos 3A*2 cos .rr-

cosxr, cos/r, cos xr-i cos r''2

(*) CauchYj Lcço/ii 5«/- /«'i applications du calcul infini têsimal. Préliminaires (lO'.î).

APPLICATIONS DES DÉTERMIfïANTS. 199