COS2C
ç.osxd
cosyd
cos zd
d'où, par une méthode analogue à la précédente,
/'si ^3»
^41 Kl
— (sin abd + sin bcd -h sin cad — sin abcy =
cos'za =0,
coszacosib
en posant
A,, = — I H- cos^xfl -\- cos'jû
/i,7= — I -h cosaracôsj?^ -f- CCS j«cos^^
'= — I -Hcosfl^ = — 2 sin' — j
ClC • • • 4
En dégageant de ce déterminant le facteur ( — 2)^, on obtient Téquation quMl s'agissait de démontrer.
li. En désignant par a^b^c les directions des rayons OA, OB, OC d'un cercle; par y, g^ h les carrés des côtés du triangle inscrit ABC 5 par r le rayon dtl cercle; en multipliant par 8r* les deux membres de la première des équations goniométriques établies au n° 10, et remarquant que
ab
T^ûnab = 2OAB, 4'*'*''*' — = A, elc. . . ;
on a
(4r.ABC)'=-
relation cdnnue.
En désignant par a, b^c\d les directions des rayons OA, OB, OC, OD d'une sphère; f^v f^g^h les carrés des arêtes BC, CA, AB du tétraèdre inscrit ABCD; par/', g', h les carrés des arêtes respectivement opposées AD, BD, CD; par r le rayon de la sphère; en multipliant par i6r* les deux membres de la seco.nde des équations élablies au n^ 10,
202 SECOItfDE PARTIE, § XVII.
ei observant que
r^sinabd = 60ABD, 4'^**'^' — = A, etc. .. ,
il vient
(24r ABCD)»=: —
AT
pour Texpression du rayon de la sphère circonscrite au tétraèdre, en fonction des arêtes et du volume (*).
12. Le produit, que l'on rencontre souvent, de deux longueurs par le cosinus de Fangle qu'elles comprennent, peut s'exprimer au moyen des carrés des droites qui joignent les extrémités de ces longueurs, moyennant quoi les produits de polygones et de polyèdres peuvent prendre des formes remarquables.
En prenant les notations du n^ 5, III, on a
2AB.CDCOS771 =2AD.CDcosa,7i — 2BD.GDcos^i7i.
Or on a généralement
2 AD.GDcosa,7, = AD' -+- CD» — AC, 2 BC, CD cosp.v, = BD' 4- CD» — BC»,
et par suite
