AB.CDCOS77, = AD' — BD' — (AC — BC

43. En désignant par /i,,^ le carré de la distance A, B;i, on a, pour deux triangles dont les plans font entre eux

(*) La relation trouvée par Crellc {Maih. Au/satze^i. I, ]>. 117) a clé ramenée » cette forme par Joachimsthnl, loc . cit . ( 37). ( * * ) Carnot, loc . rit .

APPLICATIONS DES DÉTBRMINAKTS.

l'aogle <jp,

l6 Ai Â2 A3 . Bi B3B4 . COS (f =

1 du dix ^31

les premiers indices se rapportant au premier triangle, et les seconds indices au second triangle.

Démonstration, — D'après (3), on a, en vertu des notations adoptées,

16 A, A2 A3 . B, B3 B3 . cos<p = Or on a (12)

^Ci,k = C^jJ — di^i — (dn — ^/,, ).

Le déterminant

di2 — dn — (dit — dii), dn — ^32 — [du — d^i) d\z — û?23 — {d\\ — ^21)* ^13 — ^33 — [di\ — d^x)

peut (§ II5 6, et § III, 4) se transformer en

1, dxi — <^ai — (<^t 1 — ^21), dxx — ^31 — '(«^11 — ^31) I, dxi — ^22 — (^11 — dix)y dxt — d^t — [dxx — dzx)

«J ^13 ^23 (^11 dtx)y ^13 ^33 (^M ^31 )

1, dxx — dix 9 dix — d^t

ï> di2 "22 > "I2""~"32

I j «13 <*23 J dx3 «33

dix,

dxx — dix^

dxx — d^x

dti,

dxf ^22,

dx2 ^32

dxit

dxz ^23 >

dxx

flfji

dxi

di3

dss

Corollaire L — Si les points Bi , 6s , Bs coïncident res-

( *) La proposition établie pour la première fois par Von Staudt, hc. Ci/., a été mise sous cette forme, d'après Cayley, par Sylvester {Vhilosophical Magazine, i852; t. Il, p. 335), Voir ci-dessous, § XVlll, 9 et 12.

2o4 SECONDE PARTIE^ § XVII.

pectivemenl avec les pointa Ai , A, , As , on a

COSf = I, diji=:dk^i, di^iZriOf

et par suite

rf..

rf«

ce qui coïncide avec Texpression connue de la surface d'un triangle en fonction de ses côtés (§ Y, 2).

La condition pour que Ai , Ai , As soient en ligne droite sera

1 o £/„ rf,3

Pour une position quelconque d'un point sur la droite qui passe par les deux autres points, il y a un des facteurs du déterminant qui s'évanouit.

Corollaire II. — La surface d^un quadrilatère plan étant

A| Aj A3 A4 ^^ Al Aj A3 -T" A| A3 A4 y

on a, pour deux quadrilatères plans, dont les plans font entre eux un angle f ,

16 A| A3 A3 A4 . B| B3 B3 84 . ces 7 i6Ai A3A3.B(B3B3.cos^+ 16 A, A3A3.B1B3B4 cosf i6Ai A3A4.B, BsBs.cos^ + 16 A| As A4.B|B3B4.cos^

1 ^/„ r/3, di, ï d\7, ^3 ^M

rf.>

rfn

dy.

APPLICATIONS DES DÉTERMINANTS. 2oS

Si donc A et B sont les surfaces de deux polygones plans de m et de n côtés, dont les plans font entre eux Tangle f, ABcosf sera la somme, prise négativement, de ^ (m — 2) (n -T- a) déterminants du quatrième degré et de la forme ci-dessus. Ce sera donc une fonction rationnelle et entière des carrés des droites qui joignent les sommets de l'un des polygones avec ceux de l'autre (*).

14. En désignant par di^i, le carré de la distance A, B^, on à, pour deux tétraèdres,

200 At A} A3 A4 . B| B2 B3 B4 =

du d-n d^i d^x

«la «25 ajj «ijj

du du di

les premiers indices se rapportant au premier tétraèdre, et les seconds indices au second tétraèdre.

Démonstration. '-' Le produit cherché est, par le n** 7, égal au déterminant

-dii — (du — dii}^ di2 — ^32 — (du — dn)y d^^ — d^^ — (^u — ^^41) -dn — {dxx — dix)^ </i3 — ^33 — (^11 — ^31 )j ^»3 — ^43 — [du — ^41)

-^^24 (^11 dix)y dit ^34 — (du — ^3,), £/,4 — d^^ — (du — ^41)

lequel peut se transformer, de la manière indiquée au nO 13, en

I , du — du , rfii — (^31 , «^11 — ^41

ly «12 -— dn 9 "lï *"~ "sa y d\2 — «42

Ij "I3"~"I3> «13— O33J. «13 «43

I, l/,4 ^24 > «^14 — ^a4 y dii ^44

1 du d-n d^x du

1 di2 d^i d^2 ^42 • ^13 d:i3 thr, d^

1 ô,4 ri24 r/3, dt

( * ) Von Stabdt, loc . c'a .

Corollaire 1. — Si Ton fait coïncider les points Bi , Bg , B,, B4 respectivement avec Ai, Aj, As, A4, on a

(ii,k = ffi,

du ■■

et par suite

rfu

En développant ce déterminant diaprés le § V, 2, on retrouve la formule connue, donnée par Euler (iVoi^. Conim. Petrop.y t. IV, p. i58) pour le calcul du volume du tétraèdre en fonction des arêtes.

La condition pour que les points Aj, At, As, A4 soient dans un même plan sera

rfu

dr.

ce qui s'accorde avec Téquation entre les distances mutuelles de quatre points d'un même plan (Euler, ^cta Petrop.9 6, 1, p. 3.)

Corollaire II. — Un polyèdre étant donné, onpeut, au moyen des droites tirées d'un sommet Ai vers les autres sommets As, A3, A4, ... , et des plans qui comprennent ces. droites prises convenablement deux à deux, le décomposer en pyramides triangulaires, ayant pour sommet commun Al, et pour bases des portions de la surface du polyèdre. Rangeons les systèmes de trois points, qui déterminent les bases de ces pyramides, dans un ordre tel, que

toutes les portions de la surface du polyèdre, vues de dehors, soient de même sens. Alors les pyramides qui composent le polyèdre seront de même signe ou de signe contraire, suivant que leurs bases, vues du sommet Aj, seront de même sens ou de sens contraire.

On peut d'après cela considérer le produit de deux polyèdres comme une somme de produits de tétraèdres pris deux à deux, et le mettre sous la forme d'une somme de déterminants du cinquième degré, tels que ceux que nous venons d'indiquer. Le produit de deux polyèdres est par conséquent une fonction rationnelle et entière des carrés des droites qui joignent les sommets de l'un des polyèdres avec ceux de l'autre, comme v. Staudt l'a remarqué.